Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contraexemplo.
( ) Se
diverge, então
;
( ) Se
Passo 1
O enunciado afirma que “se
diverge, então
”.
O conteúdo envolvido é a relação entre convergência de séries e o comportamento do termo geral. Sabemos do teste de divergência que, para uma série convergir, é necessário (mas não suficiente) que o termo geral tenda a zero:
O conteúdo envolvido é a relação entre convergência de séries e o comportamento do termo geral. Sabemos do teste de divergência que, para uma série convergir, é necessário (mas não suficiente) que o termo geral tenda a zero:
Aqui precisamos verificar se o inverso dessa afirmação é verdadeiro: “se a série diverge, então o termo geral não pode tender a zero”.
Passo 2
Para refutar a afirmação, basta encontrar uma série divergente cujo termo geral tenda a zero. Um exemplo clássico é a série harmônica:
- É conhecido que essa série diverge (por comparação ou integral).
- Porém
Logo, aqui a série diverge e mesmo assim o termo geral tende a zero, o que contradiz a afirmação do enunciado.
Resposta
(F)