Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge, então \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=L \neq 0;

Passo 1

O enunciado afirma que “se \sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} diverge, então \lim_{n\to\infty}a_{n}=L\neq0”.
O conteúdo envolvido é a relação entre convergência de séries e o comportamento do termo geral. Sabemos do teste de divergência que, para uma série convergir, é necessário (mas não suficiente) que o termo geral tenda a zero:
\text{se }\sum a_{n}\text{ converge, então }\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.ã
Aqui precisamos verificar se o inverso dessa afirmação é verdadeiro: “se a série diverge, então o termo geral não pode tender a zero”.

Passo 2

Para refutar a afirmação, basta encontrar uma série divergente cujo termo geral tenda a zero. Um exemplo clássico é a série harmônica:
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1n.
  1. É conhecido que essa série diverge (por comparação ou integral).
  2. Porém
\lim_{n\to\infty}\frac1n = 0.
Logo, aqui a série diverge e mesmo assim o termo geral tende a zero, o que contradiz a afirmação do enunciado.

Resposta

(F)

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