Considere o campo
\vec{F}(x, y)=\left(\frac{-2 y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}\right)
(a) Em quais pontos o campo não está definido?
(b) O domínio é simplesmente conexo?
(c) Explique por que isso é importante quando estudamos campos conservativos.
(d) Mostre que F não é conservativo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado fornece o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\left(\dfrac{-2y}{x^{2}+y^{2}},\;\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}}\right).
As perguntas são:
(a) Em quais pontos o campo não está definido?
(b) O domínio de definição é simplesmente conexo?
(c) Por que isso (simply connected) é importante ao estudar campos conservativos?
(d) Mostre que \vec{F} não é conservativo.
Informações relevantes dadas (explicitamente do enunciado):
  • O numerador e denominador de cada componente estão especificados; a presença de x^{2}+y^{2} no denominador sugere atenção onde x^{2}+y^{2}=0.
  • Não há outras condições explícitas, então consideramos o domínio natural onde o denominador é diferente de zero.

Passo 2

(a) Determinar onde \vec{F} não está definido.
Explicação passo a passo do que significa “não está definido”: uma componente do campo tem divisão por x^{2}+y^{2}. O campo fica indefinido quando o denominador é zero, porque divisão por zero não é permitida.
Resolver x^{2}+y^{2}=0. Como x^{2}\ge0 e y^{2}\ge0 para todo x,y, a soma só é zero quando x=0 e y=0 simultaneamente. Logo o ponto proibido é (0,0).
Portanto, \vec{F} não está definido em (0,0). Em todos os demais pontos de \mathbb{R}^{2} com x^{2}+y^{2}\neq0 o campo está bem definido.

Passo 3

(b) O domínio é simplesmente conexo?
Primeiro vamos escrever o domínio explicitamente. O domínio natural de \vec{F} é
D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq0\right\}=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Definição intuitiva de simplesmente conexo (explicada sem jargão):
  • Um domínio em \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo se toda curva fechada no domínio puder ser deformada continuamente (contratada) a um ponto sem sair do domínio.
  • Um modo prático: se existe alguma “buraco” no domínio, ele não é simplesmente conexo.
No caso, D=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} é o plano com um ponto removido — isso equivale a um buraco no centro. Uma curva fechada que rodeia o ponto (0,0) (por exemplo o círculo unitário) não pode ser contraída a um ponto sem atravessar o ponto removido. Logo há curvas que não são contraíveis dentro de D.
Conclusão: D NÃO é simplesmente conexo.

Passo 4

(c) Por que a propriedade de ser simplesmente conexo é importante ao estudar campos conservativos?
Vou explicar com calma e de forma prática.
  • Definição prática de campo conservativo: um campo vetorial \vec{F} é conservativo se existe uma função potencial \varphi tal que \vec{F}=\nabla\varphi. Uma consequência importante é que integrais de linha entre dois pontos não dependem do caminho; integrais ao longo de curvas fechadas são zero.
  • Teorema útil (forma informal e usada em provas): se um campo vetorial \vec{F}=(P,Q) tem derivadas parciais contínuas em um domínio aberto e simplesmente conexo e satisfaz \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em todo o domínio, então \vec{F} é conservativo (existe potencial \varphi globalmente definido).
  • Importância prática: a condição de igualdade das derivadas cruzadas (às vezes chamada de “curl zero” em 2D) é necessária, mas, sem a hipótese de simplesmente conexo, NÃO é suficiente para garantir a existência de um potencial global. Em domínios não simplesmente conexos pode haver campos com “curl zero” porém não conservativos globalmente — por causa de buracos que permitem circulação não nula em torno deles. O enunciado que temos é exatamente um exemplo desse comportamento.
Resumo curto: simplesmente conexo é um extra que transforma a condição local \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x numa garantia global de existência do potencial. Sem ele, pode haver “multi‑valores” ou circulação em torno de buracos.

Passo 5

Preparação: escrever \vec{F}=(P,Q) com P e Q explicitados, para usar o teste das derivadas parciais.
Temos
P(x,y)=\dfrac{-2y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
Vou calcular detalhadamente \dfrac{\partial P}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial x}. É importante fazer isso passo a passo para ver se a condição “curl zero” vale.
Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}.
Escrevo r^{2}=x^{2}+y^{2} para simplificar notação. Então P=-2y\,r^{-2}.
Usando a regra do produto e cadeia:
\dfrac{\partial P}{\partial y}=-2\cdot r^{-2} + (-2y)\cdot(-2) r^{-4}\cdot y.
Explicação: derivada de -2y em relação a y é -2, multiplicada por r^{-2}, dá o primeiro termo. Depois o termo -2y vezes derivada de r^{-2} onde \dfrac{d}{dy}r^{-2}=-2r^{-4}\cdot \dfrac{dr}{dy}\cdot r; aqui mais diretamente \dfrac{d}{dy}r^{-2}=-2y\,r^{-4}. Multiplicando obtém-se o segundo termo (-2y)\cdot(-2y)r^{-4}=4y^{2}r^{-4}.
Agora simplifico:
\dfrac{\partial P}{\partial y}=-2r^{-2}+4y^{2}r^{-4}=\dfrac{-2r^{2}+4y^{2}}{r^{4}}.
Substituindo r^{2}=x^{2}+y^{2}:
\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{-2(x^{2}+y^{2})+4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\dfrac{-2x^{2}+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}.
Escrevo Q=2x\,r^{-2}. Pela mesma ideia:
\dfrac{\partial Q}{\partial x}=2r^{-2}+2x\cdot(-2)r^{-4}\cdot x =2r^{-2}-4x^{2}r^{-4}=\dfrac{2r^{2}-4x^{2}}{r^{4}}.
Substituindo r^{2}:
\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{2(x^{2}+y^{2})-4x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\dfrac{-2x^{2}+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Comparando:
\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\qquad\text{(em todo ponto com }x^{2}+y^{2}\neq0\text{)}.
Portanto a condição local de “curl zero” (em 2D: \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x) é satisfeita em D.

Passo 6

(d) Mostrar que [\vec{F}) não é conservativo — usando uma integral de linha em curva fechada.
Estratégia: um campo conservativo tem integral de linha nula em qualquer curva fechada. Basta encontrar uma curva fechada em D cuja integral não seja zero. Como já vimos, D não é simplesmente conexo; uma boa escolha é o círculo unitário centrado na origem, que está inteiramente em D (porque todos os seus pontos têm x^{2}+y^{2}=1\neq0).
Parametrização do círculo unitário no sentido anti‑horário:
\begin{cases} x(t)=\cos t,\\[4pt] y(t)=\sin t, \end{cases}\qquad 0\le t\le 2\pi.
Então dx=(-\sin t)\,dt\] e \(dy=(\cos t)\,dt.
Avalio a integral de linha \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} onde C é esse círculo.
Compute \vec{F}(x(t),y(t)). Como x^{2}+y^{2}=1 ao longo do círculo:
\vec{F}(\cos t,\sin t)=\left(\dfrac{-2\sin t}{1},\dfrac{2\cos t}{1}\right)=(-2\sin t,\;2\cos t).
O vetor diferencial d\vec{r}=(dx,dy)=(-\sin t,\cos t)\,dt.
O produto escalar:
\vec{F}\cdot d\vec{r}=(-2\sin t)(- \sin t)\,dt + (2\cos t)(\cos t)\,dt =(2\sin^{2}t+2\cos^{2}t)\,dt = 2\,dt.
Integrando de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}2\,dt = 4\pi \neq 0.
Conclusão: existe curva fechada em D com integral de linha diferente de zero. Logo \vec{F} não é conservativo (um campo conservativo teria integral zero em toda curva fechada).]

Passo 7

Complemento explicativo (intuitivo): relação com coordenadas polares e potencial local.
Em coordenadas polares (r,\theta) tem-se a identidade conhecida
\nabla\theta=\left(\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}},\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
Comparando com \vec{F}, vemos que
\vec{F}=2\,\nabla\theta.
Portanto localmente \vec{F} é gradiente de 2\theta. O problema é que a função \theta (o argumento do ponto) é multivalorada: ao dar uma volta completa, \theta aumenta de 2\pi. Isso explica por que \vec{F} tem “curl zero” localmente, mas não tem um potencial global single‑valued em todo D. A integral ao redor de uma volta completa mede exatamente essa descontinuidade e deu 4\pi, que coincide com a variação de 2\theta ao rodar 2\pi em \theta.

Resposta

(a) (0,0).
(b) Não; o domínio é D=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}, que não é simplesmente conexo.
(c) Porque em domínios abertos e simplesmente conexos a condição local \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} garante existência de potencial global. Sem simplesmente conexo, essa condição não é suficiente—podem existir campos com “curl zero” mas circulação não nula em torno de buracos.
(d) \vec{F} não é conservativo, pois embora \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em D, a integral em torno do círculo unitário dá \displaystyle\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=4\pi\neq0, contradizendo a condição necessária para campos conservativos.

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