Considere o campo
(a) Em quais pontos o campo não está definido?
(b) O domínio é simplesmente conexo?
(c) Explique por que isso é importante quando estudamos campos conservativos.
(d) Mostre que F não é conservativo.
(b) O domínio é simplesmente conexo?
(c) Explique por que isso é importante quando estudamos campos conservativos.
(d) Mostre que F não é conservativo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado fornece o campo vetorial
As perguntas são:
(a) Em quais pontos o campo não está definido?
(b) O domínio de definição é simplesmente conexo?
(c) Por que isso (simply connected) é importante ao estudar campos conservativos?
(d) Mostre que não é conservativo.
(a) Em quais pontos o campo não está definido?
(b) O domínio de definição é simplesmente conexo?
(c) Por que isso (simply connected) é importante ao estudar campos conservativos?
(d) Mostre que
Informações relevantes dadas (explicitamente do enunciado):
- O numerador e denominador de cada componente estão especificados; a presença de
no denominador sugere atenção onde . - Não há outras condições explícitas, então consideramos o domínio natural onde o denominador é diferente de zero.
Passo 2
(a) Determinar onde
não está definido.
Explicação passo a passo do que significa “não está definido”: uma componente do campo tem divisão por
. O campo fica indefinido quando o denominador é zero, porque divisão por zero não é permitida.
Resolver
. Como
e
para todo
, a soma só é zero quando
e
simultaneamente. Logo o ponto proibido é
.
Portanto,
não está definido em
. Em todos os demais pontos de
com
o campo está bem definido.
Passo 3
(b) O domínio é simplesmente conexo?
Primeiro vamos escrever o domínio explicitamente. O domínio natural de
é
Definição intuitiva de simplesmente conexo (explicada sem jargão):
- Um domínio em
é simplesmente conexo se toda curva fechada no domínio puder ser deformada continuamente (contratada) a um ponto sem sair do domínio. - Um modo prático: se existe alguma “buraco” no domínio, ele não é simplesmente conexo.
No caso,
é o plano com um ponto removido — isso equivale a um buraco no centro. Uma curva fechada que rodeia o ponto
(por exemplo o círculo unitário) não pode ser contraída a um ponto sem atravessar o ponto removido. Logo há curvas que não são contraíveis dentro de
.
Conclusão:
NÃO é simplesmente conexo.
Passo 4
(c) Por que a propriedade de ser simplesmente conexo é importante ao estudar campos conservativos?
Vou explicar com calma e de forma prática.
-
Definição prática de campo conservativo: um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma consequência importante é que integrais de linha entre dois pontos não dependem do caminho; integrais ao longo de curvas fechadas são zero. -
Teorema útil (forma informal e usada em provas): se um campo vetorial
tem derivadas parciais contínuas em um domínio aberto e simplesmente conexo e satisfaz em todo o domínio, então é conservativo (existe potencial globalmente definido). -
Importância prática: a condição de igualdade das derivadas cruzadas (às vezes chamada de “curl zero” em 2D) é necessária, mas, sem a hipótese de simplesmente conexo, NÃO é suficiente para garantir a existência de um potencial global. Em domínios não simplesmente conexos pode haver campos com “curl zero” porém não conservativos globalmente — por causa de buracos que permitem circulação não nula em torno deles. O enunciado que temos é exatamente um exemplo desse comportamento.
Resumo curto: simplesmente conexo é um extra que transforma a condição local
numa garantia global de existência do potencial. Sem ele, pode haver “multi‑valores” ou circulação em torno de buracos.
Passo 5
Preparação: escrever
com
e
explicitados, para usar o teste das derivadas parciais.
Temos
Vou calcular detalhadamente
e
. É importante fazer isso passo a passo para ver se a condição “curl zero” vale.
Calcule
.
Escrevo
para simplificar notação. Então
.
Usando a regra do produto e cadeia:
Explicação: derivada de
em relação a
é
, multiplicada por
, dá o primeiro termo. Depois o termo
vezes derivada de
onde
; aqui mais diretamente
. Multiplicando obtém-se o segundo termo
.
Agora simplifico:
Substituindo
:
Calcule
.
Escrevo
. Pela mesma ideia:
Substituindo
:
Comparando:
Portanto a condição local de “curl zero” (em 2D:
) é satisfeita em
.
Passo 6
(d) Mostrar que [\vec{F}) não é conservativo — usando uma integral de linha em curva fechada.
Estratégia: um campo conservativo tem integral de linha nula em qualquer curva fechada. Basta encontrar uma curva fechada em
cuja integral não seja zero. Como já vimos,
não é simplesmente conexo; uma boa escolha é o círculo unitário centrado na origem, que está inteiramente em
(porque todos os seus pontos têm
).
Parametrização do círculo unitário no sentido anti‑horário:
Então
.
Avalio a integral de linha
onde
é esse círculo.
Compute
. Como
ao longo do círculo:
O vetor diferencial
.
O produto escalar:
Integrando de
a
:
Conclusão: existe curva fechada em
com integral de linha diferente de zero. Logo
não é conservativo (um campo conservativo teria integral zero em toda curva fechada).]
Passo 7
Complemento explicativo (intuitivo): relação com coordenadas polares e potencial local.
Em coordenadas polares
tem-se a identidade conhecida
Comparando com
, vemos que
Portanto localmente
é gradiente de
. O problema é que a função
(o argumento do ponto) é multivalorada: ao dar uma volta completa,
aumenta de
. Isso explica por que
tem “curl zero” localmente, mas não tem um potencial global single‑valued em todo
. A integral ao redor de uma volta completa mede exatamente essa descontinuidade e deu
, que coincide com a variação de
ao rodar
em
.
Resposta
(a)
.
(b) Não; o domínio é
, que não é simplesmente conexo.
(c) Porque em domínios abertos e simplesmente conexos a condição local
garante existência de potencial global. Sem simplesmente conexo, essa condição não é suficiente—podem existir campos com “curl zero” mas circulação não nula em torno de buracos.
(d)
não é conservativo, pois embora
em
, a integral em torno do círculo unitário dá
, contradizendo a condição necessária para campos conservativos.