Sejam W1 e W2 dois subespaços.
(a) Mostre que W1 cap W2 é um subespaço

Passo 1

O enunciado diz que W1 e W2 são subespaços de um mesmo espaço vetorial V, e pede para mostrar que
W1cap W2
também é subespaço. Para isso, vamos usar a definição de subespaço, que exige três propriedades:
  1. não vazio,
  2. fechado sob soma de vetores,
  3. fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro mostramos que W1cap W2 não é vazio. Como W1 e W2 são subespaços, eles contêm o vetor zero de V. Logo
0in W1 e 0in W2
e portanto
0in W1cap W2

Passo 3

Agora verificamos a clausura sob soma. Suponha que u e v pertençam a W1cap W2. Isto significa que
uin W1,;vin W1 e uin W2,;vin W2
Como W1 e W2 são subespaços, cada um é fechado sob soma, então
u+vin W1 e u+vin W2
Daí
u+vin W1cap W2,
mostrando que a interseção é fechada sob adição.

Passo 4

Por fim, conferimos a clausura sob multiplicação por escalar. Seja alpha um escalar e uin W1cap W2. Então
uin W1 e uin W2
Como cada Wi é subespaço, eles fecham sob escalares:
alpha,uin W1 e alpha,uin W2
Logo
alpha,uin W1cap W2,
ou seja, a interseção é fechada sob produto por escalar.

Resposta

Portanto, W1cap W2 satisfaz as três propriedades de subespaço e, consequentemente, é de fato um subespaço de V.

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