Sejam
e
dois subespaços.
(a) Mostre que
é um subespaço
(a) Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subespaços de um mesmo espaço vetorial
, e pede para mostrar que
também é subespaço. Para isso, vamos usar a definição de subespaço, que exige três propriedades:
- não vazio,
- fechado sob soma de vetores,
- fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro mostramos que
não é vazio. Como
e
são subespaços, eles contêm o vetor zero de
. Logo
e portanto
Passo 3
Agora verificamos a clausura sob soma. Suponha que
e
pertençam a
. Isto significa que
Como
e
são subespaços, cada um é fechado sob soma, então
Daí
mostrando que a interseção é fechada sob adição.
Passo 4
Por fim, conferimos a clausura sob multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então
Como cada
é subespaço, eles fecham sob escalares:
Logo
ou seja, a interseção é fechada sob produto por escalar.
Resposta
Portanto,
satisfaz as três propriedades de subespaço e, consequentemente, é de fato um subespaço de
.