Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando claramente cada uma de suas respostas. Se for falso dê um contraexemplo e se for verdadeiro mostre a afirmação.
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(A-B)=det(A)-det(B).

Passo 1

O enunciado pergunta se para matrizes quadradas A e B de mesma ordem vale
det(A-B)=det(A)-det(B)
O conteúdo envolve propriedades de determinantes, em particular sua (não) linearidade em relação à soma de matrizes.

Passo 2

Lembrando que o determinante é multilinear em cada linha (ou coluna) isoladamente, mas não é aditivo em relação à matriz inteira. Em outras palavras, em geral não ocorre
det(X+Y)=det(X)+det(Y)
para matrizes de ordem maior que 1.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo em ordem 2. Seja
A = 1 & 2 3 & 4
B = 1 & 0 0 & 0
Então
A - B = 0 & 2 3 & 4
e
det(A)=1cdot4-2cdot3=-2
det(B)=1cdot0-0cdot0=0
det(A-B)=0cdot4-2cdot3=-6
Logo
det(A-B)=-6neq -2=det(A)-det(B)

Resposta

Falso. Um contraexemplo é
A = 1 & 2 3 & 4, B = 1 & 0 0 & 0,
pois det(A-B)=-6 enquanto det(A)-det(B)=-2.

Exercícios relacionados