Considere as matrizes A=[ccc1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & -5] e C=[ccc1 & 2 & -4 -1 & -1 & 5 2 & 7 & -3]
O sistema associado à matriz A, A X=B, e o sistema associado a matriz C, C X=D, não possuem solução, possuem única solução ou possuem infinitas soluções? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre existência e unicidade de solução dos sistemas lineares A X = B e C X = D, sem dar detalhes sobre B e D. Na Álgebra Linear, um sistema M X = Y tem solução única para todo vetor Y se, e somente se, a matriz de coeficientes M for invertível. Isso ocorre exatamente quando det(M)neq0.

Passo 2

Vamos calcular det(A). Para
A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & -5 ,
usamos a expansão pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet-1 & 51 & -5 -2cdotdet3 & 54 & -5 +(-3)cdotdet3 & -14 & 1
Agora,
det-1 & 51 & -5 =(-1)(-5)-5cdot1=5-5=0,
det3 & 54 & -5 =3cdot(-5)-5cdot4=-15-20=-35,
det3 & -14 & 1 =3cdot1-(-1)cdot4=3+4=7
Substituindo,
det(A)=1cdot0-2cdot(-35)+(-3)cdot7=0+70-21=49neq0
Como det(A)neq0, a matriz A é invertível, e o sistema A X=B tem solução única para qualquer B.

Passo 3

Agora calculamos det(C). Para
C = 1 & 2 & -4 -1 & -1 & 5 2 & 7 & -3 ,
expansão pela primeira linha dá
det(C) =1cdotdet-1 & 57 & -3 -2cdotdet-1 & 52 & -3 +(-4)cdotdet-1 & -12 & 7
Calculemos:
det-1 & 57 & -3 =(-1)(-3)-5cdot7=3-35=-32,
det-1 & 52 & -3 =(-1)(-3)-5cdot2=3-10=-7,
det-1 & -12 & 7 =(-1)cdot7-(-1)cdot2=-7+2=-5
Logo,
det(C)=1cdot(-32)-2cdot(-7)+(-4)cdot(-5)=-32+14+20=2neq0
Portanto C também é invertível e o sistema C X=D tem solução única para qualquer D.

Resposta

Ambos os sistemas possuem solução única, pois det(A)=49neq0 e det(C)=2neq0.

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