Considere a matriz A=[[-2,0,0],[0,1,3],[0,3,1]]
Determine uma matriz D diagonal e uma matriz P ortogonal tais que A=P D P T.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de diagonalização de matrizes. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz ortogonal P tal que A = P D P^T . Para isso, vamos trabalhar com alguns conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e matriz ortogonal. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz A :
A = -2 & 0 & 0 0 & 1 & 3 0 & 3 & 1
Notamos que A é uma matriz simétrica porque A^T = A . Isso é importante porque matrizes simétricas têm autovalores reais e autovetores ortogonais, o que facilita a diagonalização.

Passo 3

O próximo passo é encontrar os autovalores de A . Para isso, resolvemos o polinômio característico, que é dado por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = -2 - lambda & 0 & 0 0 & 1 - lambda & 3 0 & 3 & 1 - lambda
A determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda) cdot det 1 - lambda & 3 3 & 1 - lambda
Calculando o determinante da submatriz:
det 1 - lambda & 3 3 & 1 - lambda = (1 - lambda)^2 - 9 = lambda^2 - 2lambda - 8
Então, o polinômio característico fica:
(-2 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 8) = 0
Resolvendo as equações:
  1. -2 - lambda = 0 lambda = -2
  2. lambda^2 - 2lambda - 8 = 0 lambda = 4 e lambda = -2 (usando a fórmula de Bhaskara)
Então, os autovalores são:
lambda1 = -2, lambda2 = 4, lambda3 = -2

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda = -2 :
Resolvemos (A + 2I) v = 0 :
A + 2I = 0 & 0 & 0 0 & 3 & 3 0 & 3 & 3
Isso nos dá as equações:
3v2 + 3v3 = 0 3v2 + 3v3 = 0
Podemos escolher v3 = t , então v2 = -t . v1 é livre, já que a primeira linha não impõe restrições. Vamos escolher v1 = s .
Portanto, os autovetores são da forma:
v = s 1 0 0 + t 0 -1 1
Podemos escolher:
v1 = 1 0 0 e v2 = 1raiz2 0 -1 1
(Nota: Normalizamos v2 para garantir que os vetores sejam ortonormais.)
Para lambda = 4 :
Resolvemos (A - 4I) v = 0 :
A - 4I = -6 & 0 & 0 0 & -3 & 3 0 & 3 & -3
Isso nos dá as equações:
-3v2 + 3v3 = 0 3v2 - 3v3 = 0
Simplificando, temos v2 = v3 . v1 também é livre, mas observamos que para lambda = 4 , v1 = 0 porque a primeira equação -6v1 = 0 implica v1 = 0 .
Portanto, os autovetores são da forma:
v = 0 t t
Podemos escolher:
v3 = 1raiz2 0 1 1

Passo 5

Agora que temos os autovalores e os autovetores, vamos montar as matrizes P e D .
Matriz P :
P = 1 & 0 & 0 0 & -1raiz2 & 1raiz2 0 & 1raiz2 & 1raiz2
Matriz D :
D = -2 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 4

Resposta

A matriz diagonal D e a matriz ortogonal P que satisfazem A = P D P^T são:
P = 1 & 0 & 0 0 & -1raiz2 & 1raiz2 0 & 1raiz2 & 1raiz2 e D = -2 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 4

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