Considere a matriz
Determine uma matriz diagonal e uma matriz ortogonal tais que .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de diagonalização de matrizes. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma matriz diagonal e uma matriz ortogonal tal que . Para isso, vamos trabalhar com alguns conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e matriz ortogonal. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos observar a matriz :
Notamos que A é uma matriz simétrica porque A^T = A . Isso é importante porque matrizes simétricas têm autovalores reais e autovetores ortogonais, o que facilita a diagonalização.
Passo 3
O próximo passo é encontrar os autovalores de A . Para isso, resolvemos o polinômio característico, que é dado por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.