Resolva os sistemas pela regra de Cramer:
l c x+y+z+t=1 2 x-y+z=2 -x+y-z-t=0 2 x+2 z+t=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de quatro equações com quatro incógnitas (x, y, z, t) e quer resolver isso usando a Regra de Cramer. A matéria que estamos lidando aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular determinantes e aplicar a fórmula da Regra de Cramer para encontrar cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações:
A = 1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 & 0 -1 & 1 & -1 & -1 2 & 0 & 2 & 1
E o vetor de constantes das equações é:
B = 1 2 0 -1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A, que é essencial para a Regra de Cramer. O determinante nos diz se o sistema tem uma solução única. Se o determinante for diferente de zero, seguimos com a regra. Calculando:
det(A) = 1 cdot -1 & 1 & 0 1 & -1 & -1 0 & 2 & 1 - 1 cdot 2 & 1 & 0 -1 & -1 & -1 2 & 2 & 1 + 1 cdot 2 & -1 & 0 -1 & 1 & -1 2 & 0 & 1 - 1 cdot 2 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 2 & 0 & 2
Após calcular todos esses menores:
det(A) = 1 cdot (-1) - 1 cdot (-4) + 1 cdot (2) - 1 cdot (0) = -1 + 4 + 2 + 0 = 5

Passo 4

Como o determinante de A é 5, que é diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Agora, vamos aplicar a Regra de Cramer para encontrar cada variável. Para cada variável, substituímos a coluna correspondente na matriz A pelo vetor B e calculamos o determinante dessa nova matriz.

Passo 5

Vamos encontrar det(Aₓ) substituindo a coluna de x pela constante:
Ax = 1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & -1 -1 & 0 & 2 & 1
Calculando o determinante de Aₓ:
det(Ax) = 1 cdot -1 & 1 & 0 1 & -1 & -1 0 & 2 & 1 - 1 cdot 2 & 1 & 0 0 & -1 & -1 -1 & 2 & 1 + 1 cdot 2 & -1 & 0 0 & 1 & -1 -1 & 0 & 1 - 1 cdot 2 & -1 & 1 0 & 1 & -1 -1 & 0 & 2
Após os cálculos:
det(Ax) = 1 cdot (-1) - 1 cdot (-2) + 1 cdot (2) - 1 cdot (5) = -1 + 2 + 2 - 5 = -2

Passo 6

Para encontrar x, usamos a fórmula da Regra de Cramer:
x = det(Ax)det(A) = -25 = -0,4

Passo 7

Agora, vamos encontrar det(Aᵧ) substituindo a coluna de y pela constante:
Ay = 1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 1 & 0 -1 & 0 & -1 & -1 2 & -1 & 2 & 1
Calculando o determinante de Aᵧ:
det(Ay) = 1 cdot 2 & 1 & 0 0 & -1 & -1 -1 & 2 & 1 - 1 cdot 2 & 1 & 0 -1 & -1 & -1 2 & 2 & 1 + 1 cdot 2 & 2 & 0 -1 & 0 & -1 2 & -1 & 1 - 1 cdot 2 & 2 & 1 -1 & 0 & -1 2 & -1 & 2
Após os cálculos:
det(Ay) = 1 cdot ( (2)(-1) - (1)(-1) ) - 1 cdot ( (2)(1) - (1)(2) ) + 1 cdot ( (2)(1) - (2)(-1) ) - 1 cdot ( (2)(2) - (2)(-1) ) = (-2 +1) - (2-2) + (2 +2) - (4 +2) = -1 -0 +4 -6 = -3

Passo 8

Para encontrar y, usamos a Regra de Cramer:
y = det(Ay)det(A) = -35 = -0,6

Passo 9

Vamos encontrar det(A_z) substituindo a coluna de z pela constante:
Az = 1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & 2 & 0 -1 & 1 & 0 & -1 2 & 0 & -1 & 1
Calculando o determinante de A_z:
det(Az) = 1 cdot -1 & 2 & 0 1 & 0 & -1 0 & -1 & 1 - 1 cdot 2 & 2 & 0 -1 & 0 & -1 2 & -1 & 1 + 1 cdot 2 & -1 & 0 -1 & 1 & -1 2 & 0 & 1 - 1 cdot 2 & -1 & 2 -1 & 1 & 0 2 & 0 & -1
Após os cálculos:
det(Az) = 1 cdot ( (-1)(0) - (2)(-1) ) - 1 cdot ( (2)(1) - (2)(2) ) + 1 cdot ( (2)(1) - (-1)(2) ) - 1 cdot ( (2)(-1) - (-1)(2) ) = (0 +2) - (2-4) + (2 +2) - (-2 +2) = 2 - (-2) +4 -0 = 8

Passo 10

Para encontrar z, aplicamos a Regra de Cramer:
z = det(Az)det(A) = 85 = 1,6

Passo 11

Por fim, vamos encontrar det(A_t) substituindo a coluna de t pela constante:
At = 1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 & 2 -1 & 1 & -1 & 0 2 & 0 & 2 & -1
Calculando o determinante de A_t:
det(At) = 1 cdot -1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 0 & 2 & -1 - 1 cdot 2 & 1 & 2 -1 & -1 & 0 2 & 2 & -1 + 1 cdot 2 & -1 & 2 -1 & 1 & 0 2 & 0 & -1 - 1 cdot 2 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 2 & 0 & 2
Após os cálculos:
det(At) = 1 cdot ( (-1)(-1) - (1)(0) ) - 1 cdot ( (2)(-1) - (1)(2) ) + 1 cdot ( (2)(-1) - (-1)(2) ) - 1 cdot ( (2)(2) - (-1)(2) ) = (1 -0) - (-2 -2) + (-2 +2) - (4 +2) = 1 +4 +0 -6 = -1

Passo 12

Para encontrar t, aplicamos a Regra de Cramer:
t = det(At)det(A) = -15 = -0,2

Resposta

A solução do sistema é:
x = -0,4, y = -0,6, z = 1,6, t = -0,2

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