Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando claramente cada uma de suas respostas. Se for falso dê um contraexemplo e se for verdadeiro mostre a afirmação.
O determinante de
é igual ao determinante de
O determinante de
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, dadas matrizes
e
, vale sempre
Como o determinante só está definido para matrizes quadradas, assumimos que
e
são de ordem
. O conteúdo aqui é a propriedade multiplicativa do determinante.
Passo 2
Recordamos a propriedade fundamental: para quaisquer matrizes quadradas
e
de mesma ordem,
Essa igualdade resulta do desenvolvimento do determinante ou da interpretação em termos de volumes em transformações lineares.
Passo 3
Aplicando a propriedade a
obtemos
Como a multiplicação de escalares é comutativa, temos
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade multiplicativa a
:
Comparando com o resultado do passo anterior vemos que
Resposta
A afirmação é verdadeira.