Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando claramente cada uma de suas respostas. Se for falso dê um contraexemplo e se for verdadeiro mostre a afirmação.
O determinante de A B é igual ao determinante de B A

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, dadas matrizes A e B, vale sempre
det(AB)=det(BA)
Como o determinante só está definido para matrizes quadradas, assumimos que A e B são de ordem n. O conteúdo aqui é a propriedade multiplicativa do determinante.

Passo 2

Recordamos a propriedade fundamental: para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem,
det(AB)=det(A),det(B)
Essa igualdade resulta do desenvolvimento do determinante ou da interpretação em termos de volumes em transformações lineares.

Passo 3

Aplicando a propriedade a AB obtemos
det(AB)=det(A),det(B)
Como a multiplicação de escalares é comutativa, temos
det(A),det(B)=det(B),det(A)

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade multiplicativa a BA:
det(BA)=det(B),det(A)
Comparando com o resultado do passo anterior vemos que
det(AB)=det(B),det(A)=det(BA)

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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