Seja A uma matriz simetrica 33 que tem os numeros 2 e 3 como seus autovalores, sendo que o autovalor 2 tem multiplicidade algebrica igual a 2 . Os vetores v1 =(2,0,1) e v2 =(1,0,2) sao autovetores de A tais que A v 1=2 v 1 e A v 2=2 v 2.
Determine v3, o terceiro autovetor de A.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz simétrica de ordem 3 com autovalores 2 (multiplicidade algébrica 2) e 3. Já temos dois autovetores associados a lambda=2, a saber v1=(2,0,1) e v2=(1,0,2). Precisamos encontrar um autovetor v3 associado a lambda=3.

Passo 2

Como A é simétrica real, seus autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. Logo v3 deve satisfazer
v3cdot v1=0 e v3cdot v2=0

Passo 3

Escrevendo
Resolvendo o sistema
obtemos , ficando com .

Passo 4

Escolhendo a normalização mais simples, tomamos y=1. Assim
v3=(0,1,0)
é um autovetor de A associado ao autovalor 3.

Resposta

v3=(0,1,0)

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