Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando as respostas:
O conjunto
, munido das operações de adição e multiplicação por escalar, definidas respectivamente por:
-
-
,
é um espaço vetorial.
O conjunto
é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com as operações
Para que isso seja um espaço vetorial, as oito propriedades de espaço vetorial (fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso aditivo, distributividades, associatividade e existência do escalar
) devem valer. Bastará mostrar que pelo menos uma delas falha.
Passo 2
Teste da existência do elemento neutro aditivo: suponha que exista
tal que, para todo
,
Pelo definido,
deve ser igual a
. Logo
para todo
, o que é impossível. Concluímos que não existe elemento neutro para essa “adição”.
Passo 3
Como não há elemento neutro, já falha um axioma essencial de espaço vetorial. Além disso, nota-se também que a adição não é comutativa, pois
em geral.
Passo 4
Pela falta do elemento neutro aditivo (e da comutatividade), o conjunto não satisfaz as axiomas de espaço vetorial.
Resposta
F (falso)