Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando as respostas:
O conjunto R^2, munido das operações de adição e multiplicação por escalar, definidas respectivamente por:
  • (x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y2+x1), e
  • alpha(x, y)=(-x, alpha^2 y),
    é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto R^2 com as operações
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1,;y2 + x1) e alpha,(x,y) = (-x,;alpha^2,y)
Para que isso seja um espaço vetorial, as oito propriedades de espaço vetorial (fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso aditivo, distributividades, associatividade e existência do escalar 1) devem valer. Bastará mostrar que pelo menos uma delas falha.

Passo 2

Teste da existência do elemento neutro aditivo: suponha que exista 0=(a,b) tal que, para todo (x,y)inR^2,
(x,y)+(a,b) = (x,y)
Pelo definido,
(x,y)+(a,b) = (x,;b + x)
deve ser igual a (x,y). Logo b + x = y para todo x,y, o que é impossível. Concluímos que não existe elemento neutro para essa “adição”.

Passo 3

Como não há elemento neutro, já falha um axioma essencial de espaço vetorial. Além disso, nota-se também que a adição não é comutativa, pois
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1,;y2 + x1) neq (x2,y2)+(x1,y1) = (x2,;y1 + x2)
em geral.

Passo 4

Pela falta do elemento neutro aditivo (e da comutatividade), o conjunto não satisfaz as axiomas de espaço vetorial.

Resposta

F (falso)

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