1. (PETROBRAS - Economista Júnior - 2018) Seja V um espaço vetorial de dimensão 8 e U1 e U2 subespaços vetoriais de V tais que V=U1 oplus U2, isto é, V=U1+U2 e U1 cap U2=0, onde 0 é o vetor nulo de V. Sabe-se que dim(U2)=dim(U1)+4. Sejam v1, v2, v3 vetores não nulos de U1 e V4, v5, v6, v7 vetores não nulos de U2. Sabe-se que os vetores v4, v5, v6 e v7 são LD. Qual a maior dimensão que o espaço vetorial gerado por esses 7 vetores pode ter?

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V com dim(V)=8 e dois subespaços U1 e U2 tais que
V = U1oplus U2, dim(U2) = dim(U1) + 4
Temos ainda três vetores não nulos em U1 e quatro vetores não nulos em U2, sendo estes últimos linearmente dependentes. Queremos a maior dimensão possível de spanv1,dots,v7.

Passo 2

Como V = U1oplus U2 implica
dim(U1) + dim(U2) = 8
e sabemos dim(U2) = dim(U1) + 4, juntando as duas,
2,dim(U1) + 4 = 8 Longrightarrow dim(U1) = 2,
logo dim(U2) = 6.

Passo 3

Em U1, que tem dimensão 2, quaisquer três vetores não nulos só podem gerar no máximo um subespaço de dimensão 2. Ou seja, entre v1,v2,v3 no máximo 2 são linearmente independentes.

Passo 4

Em U2, de dimensão 6, quatro vetores linearmente dependentes ( v4,dots,v7) podem ter no máximo 3 vetores independentes. Assim, desses quatro escolhemos até 3 LI.

Passo 5

Como U1cap U2=0, um conjunto formado por 2 vetores LI em U1 e 3 vetores LI em U2 será LI em V. Portanto a maior dimensão possível do espaço gerado é
2 + 3 = 5

Resposta

5

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