- (PETROBRAS - Economista Júnior - 2018) Seja
um espaço vetorial de dimensão 8 e
e
subespaços vetoriais de
tais que
, isto é,
, onde
é o vetor nulo de
. Sabe-se que
. Sejam
vetores não nulos de
e
vetores não nulos de
. Sabe-se que os vetores
e
são LD. Qual a maior dimensão que o espaço vetorial gerado por esses 7 vetores pode ter?
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
com
e dois subespaços
e
tais que
Temos ainda três vetores não nulos em
e quatro vetores não nulos em
, sendo estes últimos linearmente dependentes. Queremos a maior dimensão possível de
.
Passo 2
Como
implica
e sabemos
, juntando as duas,
logo
.
Passo 3
Em
, que tem dimensão
, quaisquer três vetores não nulos só podem gerar no máximo um subespaço de dimensão
. Ou seja, entre
no máximo
são linearmente independentes.
Passo 4
Em
, de dimensão
, quatro vetores linearmente dependentes (
) podem ter no máximo
vetores independentes. Assim, desses quatro escolhemos até
LI.
Passo 5
Como
, um conjunto formado por
vetores LI em
e
vetores LI em
será LI em
. Portanto a maior dimensão possível do espaço gerado é
Resposta
5