Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem 2. Quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
e)
, onde
é uma matriz arbitrária em
.
e)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as matrizes quadradas
e o subconjunto
onde
é uma matriz fixa em
. Para mostrar que
é subespaço vetorial de
, vamos usar a definição: (i)
não pode ser vazio (contém a matriz zero), (ii)
deve ser fechado sob adição e (iii) fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostrar que a matriz zero
está em
. De fato,
logo
. Assim
não é vazio e contém o elemento neutro da adição.
Passo 3
Verificar fechamento sob adição. Sejam
. Então
Somando essas igualdades, obtemos
logo
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Para qualquer escalar
e
,
portanto
.