Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem 2. Quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta.
e) W=A in V mid A M=M A subset V, onde M é uma matriz arbitrária em V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V de todas as matrizes quadradas 2times2 e o subconjunto
W = Ain V mid A,M = M,A,
onde M é uma matriz fixa em V. Para mostrar que W é subespaço vetorial de V, vamos usar a definição: (i) W não pode ser vazio (contém a matriz zero), (ii) W deve ser fechado sob adição e (iii) fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostrar que a matriz zero 0 está em W. De fato,
0cdot M = 0 = Mcdot 0,
logo 0in W. Assim W não é vazio e contém o elemento neutro da adição.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição. Sejam A,Bin W. Então
A,M = M,A e B,M = M,B
Somando essas igualdades, obtemos
(A+B)M = A,M + B,M = M,A + M,B = M,(A+B),
logo A+Bin W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar. Para qualquer escalar alpha e Ain W,
(alpha A)M = alpha,(A,M) = alpha,(M,A) = M,(alpha A),
portanto alpha Ain W.

Resposta

W é um subespaço vetorial de V.

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