Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando as respostas:
O conjunto
W=(x, y, z) in R^3 ; 3 x-2 y+z=0
é um subespaço vetorial sobre R relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = l(x,y,z)inR^3 mid 3x - 2y + z = 0r
e pergunta se W é um subespaço vetorial de R^3 (com as operações usuais). Para isso, precisamos verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Substituindo em 3x - 2y + z, temos
3cdot 0 ;-;2cdot 0;+;0 ;=;0,
logo (0,0,0)in W. Portanto W não é vazio.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) dois vetores em W. Então
3x1 - 2y1 + z1 = 0 e 3x2 - 2y2 + z2 = 0
Considere a soma u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2). Então
3(x1+x2) - 2(y1+y2) + (z1+z2) = (3x1 - 2y1 + z1) + (3x2 - 2y2 + z2) = 0 + 0 = 0
Logo u+vin W, provando a fechadura sob soma.

Passo 4

Seja u=(x,y,z)in W e lambdainR. Como 3x - 2y + z = 0, para o vetor lambdau = (lambda x,lambda y,lambda z) temos
3(lambda x) - 2(lambda y) + (lambda z) = lambda,(3x - 2y + z) = lambdacdot 0 = 0
Portanto lambdauin W, mostrando a fechadura sob multiplicação escalar.

Passo 5

Vimos que W contém o vetor zero e é fechado sob soma e produto por escalar. Essas condições são suficientes para concluir que W é um subespaço vetorial de R^3.

Resposta

V – W é um subespaço de R^3.

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