Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando as respostas:
O conjunto
é um subespaço vetorial sobre
relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
O conjunto
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pergunta se
é um subespaço vetorial de
(com as operações usuais). Para isso, precisamos verificar três propriedades:
-
não é vazio (contém o vetor zero). -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Substituindo em
, temos
logo
. Portanto
não é vazio.
Passo 3
Sejam
e
dois vetores em
. Então
Considere a soma
. Então
Logo
, provando a fechadura sob soma.
Passo 4
Seja
e
. Como
, para o vetor
temos
Portanto
, mostrando a fechadura sob multiplicação escalar.
Passo 5
Vimos que
contém o vetor zero e é fechado sob soma e produto por escalar. Essas condições são suficientes para concluir que
é um subespaço vetorial de
.
Resposta
V –
é um subespaço de
.