Reduzir cada uma das equaçōes à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa.
x^2-9 y^2=9

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a quádrupla
x^2 - 9y^2 = 9
à forma canônica, identificar que tipo de cônica ela representa e esboçar seu gráfico. Vamos usar a técnica de divisão por constantes para chegar à forma padrão de uma hipérbole.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 9, isolamos a equação na forma padrão:
x^2 - 9y^2 = 9 Longrightarrow x^29 ;-;9y^29 ;=;1 Longrightarrow x^29 ;-;y^2 = 1
Essa é a forma canônica de uma hipérbole com eixo principal paralelo ao eixo x.

Passo 3

Na forma
x^2a^2 ;-;y^2b^2 = 1
identificamos
a^2 = 9 implies a = 3, b^2 = 1 implies b = 1
O centro fica em (0,0). Os vértices são (pm a,0) = (pm3,0).
Os focos obedecem a c^2=a^2+b^2=9+1=10, logo c=raiz10 e ficam em (pmraiz10,0).
As assíntotas, que guiam o desenho dos ramos, são
y = pm ba,x = pm x3

Passo 4

Para esboçar o gráfico:
  1. Marco o centro em (0,0).
  2. Marco os vértices em (3,0) e (-3,0).
  3. Desenho as assíntotas y = pm x/3 como retas tracejadas.
  4. Desenho dois ramos de hipérbole abertos para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas sem tocá-las.

Resposta

A forma canônica é
x^29-y^2=1,
tratando-se de uma hipérbole com centro em (0,0), vértices em (pm3,0), focos em (pmraiz10,0) e assíntotas y=pm x/3. Seu gráfico consiste em dois ramos simétricos abertos ao longo do eixo x.

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