Resolva o sistema usando método gaussiano:
2 x-3 y+2 z=0
x-y+z=0
2 x+2 z=0
Calcular o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e o numero de variáveis livres
Calcular o conjunto solução

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo
2x - 3y + 2z = 0, x - y + z = 0, 2x;+0y + 2z = 0,
usando eliminação de Gauss. Além disso, precisamos calcular o posto da matriz de coeficientes, o posto da matriz ampliada (que aqui tem o mesmo vetor de termos independentes zero) e o número de variáveis livres, e então descrever todo o conjunto solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada [Amid 0]:
[Amid 0] = 2 & -3 & 2 & 0 1 & -1 & 1 & 0 2 & 0 & 2 & 0

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para triangularizar:
  1. Troque a primeira linha pela segunda para ter pivot 1: 1 & -1 & 1 & 0 2 & -3 & 2 & 0 2 & 0 & 2 & 0
  2. Zere abaixo do pivot da coluna 1:
    substituir L2 L2 - 2L1 e L3 L3 - 2L1 1 & -1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0
  3. Use o pivot -1 em (2,2) e zere abaixo:
    substituir L3 L3 + 2L2 1 & -1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Agora temos a forma escalonada.

Passo 4

O número de pivôs não nulos na matriz dos coeficientes A é 2, portanto
o posto de A é
rank(A)=2
Como o vetor de termos independentes é 0, a matriz ampliada tem o mesmo posto:
rank(Amid 0) = 2

Passo 5

O sistema tem n=3 variáveis (x,y,z) e rank(A)=2, então o número de variáveis livres é
n - rank(A) = 3 - 2 = 1

Passo 6

Para parametrizar a solução, escolhemos a variável livre
,z = tinR
Da segunda linha escalonada temos -y = 0, logo
y = 0
Da primeira linha escalonada temos
x - y + z = 0 Longrightarrow x + t = 0 Longrightarrow x = -,t
Portanto o conjunto solução é
(x,y,z)inR^3 mid x=-t,;y=0,;z=t,;tinR =t,(-1,0,1)mid tinR

Resposta

O posto da matriz de coeficientes é 2.
O posto da matriz ampliada é 2.
O número de variáveis livres é 1.
O conjunto solução é t,(-1,0,1)mid tinR.

Exercícios relacionados