Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando as respostas:
O conjunto t^2-t, t+2, t^2-3 t-2 é uma base do espaço vetorial P2 (polinômios de grau menor ou igual a 2).

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto de três polinômios
,t^2-t,;t+2,;t^2-3t-2
é uma base de P2. O espaço P2 tem dimensão 3 e, para ser base, o conjunto deve ter exatamente 3 vetores (polinômios) e ser linearmente independente (ou, equivalentemente em dimensão finita, ter determinante não nulo quando escritos em coordenadas).

Passo 2

Vamos escrever cada polinômio em coordenadas relativas à base canônica 1,t,t^2:
p1(t)=t^2-t corresponde a (0,-1,1).
p2(t)=t+2 corresponde a (2,1,0).
p3(t)=t^2-3t-2 corresponde a (-2,-3,1).
Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores de coordenadas:
A = 0 & 2 & -2 -1 & 1 & -3 1 & 0 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Por expansão de Laplace, por exemplo na primeira linha:
det(A) =0cdotdet1 & -30 & 1 -2cdotdet-1 & -31 & 1 +(-2)cdotdet-1 & 11 & 0
Temos
det-1 & -31 & 1 =(-1)cdot1-(-3)cdot1=2
e
det-1 & 11 & 0 =(-1)cdot0-1cdot1=-1.
Logo
det(A) =0 -2cdot2 +(-2)cdot(-1) =-4+2=-2neq0
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes. Sendo 3 vetores independentes em espaço de dimensão 3, eles formam uma base.

Resposta

V (verdadeiro), pois o determinante da matriz de coordenadas é -2neq0, garantindo independência e, portanto, base de P2.

Exercícios relacionados