Determine a reta t, contida no plano pi : x-y+z=0, e que é concorrente com as retas (x, y, z)=(t, t, 1-32 t) e(x, y, z)=(u, 0, u+2)

Passo 1

O enunciado pede uma reta t que
  1. Esteja contida no plano picolon x - y + z = 0.
  2. Intercepte a reta
ell1:;(x,y,z)=(t,;t,;1-tfrac32t)
em algum ponto P1.
3. Intercepte a reta
ell2:;(x,y,z)=(u,;0,;u+2)
em algum ponto P2.
Como qualquer reta que passa por dois pontos de pi está inteira em pi, basta achar P1 em ell1cappi e P2 em ell2cappi, e então escrever a reta que une P1 e P2.

Passo 2

Encontrar P1inell1cappi.
Ponto genérico de ell1:
P1=(t,;t,;1-tfrac32t)
Impor P1inpi em x - y + z = 0:
t - t + l(1 - tfrac32tr)=0 Longrightarrow 1 - tfrac32t = 0 Longrightarrow t = tfrac23
Logo
P1=l(tfrac23,;tfrac23,;1-tfrac32cdottfrac23r) =l(tfrac23,;tfrac23,;0r)

Passo 3

Encontrar P2inell2cappi.
Ponto genérico de ell2:
P2=(u,;0,;u+2)
Impor P2inpi em x - y + z = 0:
u - 0 + (u+2)=0 Longrightarrow 2u + 2 = 0 Longrightarrow u = -1
Logo
P2=l(-1,;0,;(-1)+2r) =l(-1,;0,;1r)

Passo 4

A reta t que passa por P1 e P2 tem como vetor diretor
vec v = P2 - P1 =l(-1-tfrac23,;0-tfrac23,;1-0r) =l(-tfrac53,;- tfrac23,;1r),
podendo-se multiplicar por 3 para simplificar:
vec v sim (-5,,-2,;3)
Logo uma forma paramétrica para t é
t:;(x,y,z) =l(tfrac23,;tfrac23,;0r) +lambda,(-5,,-2,;3), lambdain R

Resposta

boxed t:;(x,y,z) =l(tfrac23,;tfrac23,;0r) +lambda,(-5,,-2,;3),;lambdain R

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