Dada a matriz A=(lll1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 5 & 6 & 7), calcule o inverso de A, caso ele exista

Passo 1

O enunciado pede o inverso da matriz
A = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 5 & 6 & 7
para isso vamos usar o fato de que, se existir,
A^-1 = 1det(A),adj(A),
onde adj(A) é a transposta da matriz de cofatores de A.

Passo 2

Calculemos det(A) expandindo pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet!1&46&7 -2cdotdet!0&45&7 +3cdotdet!0&15&6
Agora cada determinante 2times2:
det!1&46&7=1cdot7-4cdot6=-17, det!0&45&7=0cdot7-4cdot5=-20,
det!0&15&6=0cdot6-1cdot5=-5
Substituindo,
det(A)=1cdot(-17)-2cdot(-20)+3cdot(-5) =-17+40-15=8
Como det(A)=8neq0, A é invertível.

Passo 3

Para obter a matriz de cofatores C, calculamos
Cij=(-1)^i+jdet(Mij),
onde Mij é a submatriz de A sem a linha i e coluna j.
Aplicando para todos os pares (i,j) obtemos
C = -17 & 20 & -5 4 & -8 & 4 5 & -4 & 1

Passo 4

A adjunta de A é a transposta de C:
adj(A)=C^T = -17 & 4 & 5 20 & -8 & -4 -5 & 4 & 1
Logo o inverso é
A^-1=1det(A),adj(A) =18 -17 & 4 & 5 20 & -8 & -4 -5 & 4 & 1

Resposta

A^-1 = 18 -17 & 4 & 5 20 & -8 & -4 -5 & 4 & 1

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