Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas. Justifique!
O quadrado de qualquer número real é um número racional.

Passo 1

O enunciado afirma que “o quadrado de qualquer número real é um número racional”. Aqui trabalhamos com os conjuntos dos números reais R e dos números racionais Q, e precisamos verificar se, para todo xinR, o valor x^2 pertence a Q.

Passo 2

Um número q é racional se e somente se ele pode ser escrito na forma
q = pr,
com p e r inteiros e rneq 0. Se não existe tal representação, dizemos que o número é irracional.

Passo 3

Para refutar a afirmação, basta apresentar um contraexemplo: escolhemos
x = raiz[4]2
Esse x é real, pois toda raiz de índice par de um número positivo está em R.

Passo 4

Calculamos o quadrado de x:
x^2 = l(raiz[4]2r)^2 = raiz2
É clássico que raiz2 não pode ser expresso como tfracpr com p,rinZ, ou seja, raiz2notinQ.

Passo 5

Como encontramos xinR tal que x^2notinQ, a afirmativa “o quadrado de qualquer número real é racional” falha.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados