Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas. Justifique!
O quadrado de qualquer número real é um número racional.
O quadrado de qualquer número real é um número racional.
Passo 1
O enunciado afirma que “o quadrado de qualquer número real é um número racional”. Aqui trabalhamos com os conjuntos dos números reais
e dos números racionais
, e precisamos verificar se, para todo
, o valor
pertence a
.
Passo 2
Um número
é racional se e somente se ele pode ser escrito na forma
com
e
inteiros e
. Se não existe tal representação, dizemos que o número é irracional.
Passo 3
Para refutar a afirmação, basta apresentar um contraexemplo: escolhemos
Esse
é real, pois toda raiz de índice par de um número positivo está em
.
Passo 4
Calculamos o quadrado de
:
É clássico que
não pode ser expresso como
com
, ou seja,
.
Passo 5
Como encontramos
tal que
, a afirmativa “o quadrado de qualquer número real é racional” falha.
Resposta
Falsa.