Utilize as propriedades apresentadas para o cálculo de limites e determine:
lim z z0 z^n-z0 ^nz^m-z0 ^m.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limzto z0z^n-z0^nz^m-z0^m.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites de funções (complexas ou reais) e usaremos a fatoração de diferença de potências junto com as propriedades de limite de soma, produto e quociente.

Passo 2

Fatoramos a diferença de potências no numerador e no denominador:
z^n-z0^n=(z-z0)sumk=0^n-1z^,n-1-kz0^,k,
z^m-z0^m=(z-z0)sumj=0^m-1z^,m-1-jz0^,j

Passo 3

Substituindo na razão e cancelando o fator comum (z-z0), obtemos
z^n-z0^nz^m-z0^m =sumk=0^n-1z^,n-1-kz0^,ksumj=0^m-1z^,m-1-jz0^,j

Passo 4

Como cada uma das somas é contínua em z=z0, basta substituir z=z0:
sumk=0^n-1z^,n-1-kz0^,k|z=z0 =sumk=0^n-1z0^,n-1 = n,z0^,n-1,
sumj=0^m-1z^,m-1-jz0^,j|z=z0 =sumj=0^m-1z0^,m-1 = m,z0^,m-1
Logo, o limite é
n,z0^,n-1m,z0^,m-1

Resposta

limzto z0z^n-z0^nz^m-z0^m =nm,z0^,n-m

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