Utilize as propriedades apresentadas para o cálculo de limites e determine:
lim x 1 x^3+x^2-4 x+1x^3-3 x^2+5 x-3.

Passo 1

O enunciado pede
limxto1x^3+x^2-4x+1x^3-3x^2+5x-3
ou seja, é um limite de função racional. Vamos primeiro testar a substituição direta para ver se obtemos uma forma indeterminada.

Passo 2

Substituindo x=1 diretamente:
numerador = 1^3+1^2-4cdot1+1 = 1+1-4+1 = -1,
denominador = 1^3-3cdot1^2+5cdot1-3 = 1-3+5-3 = 0
Logo, a forma é -10, não é indeterminada de tipo 00 mas sim “não-zero sobre zero”, o que sugere divergência infinita. Para entender melhor o comportamento, precisamos analisar o sinal ao redor de x=1.

Passo 3

Fatoramos o denominador para ver de que sinal ele é próximo de x=1. Usando divisão sintética ou agrupamento:
x^3-3x^2+5x-3 = (x-1),(x^2-2x+3)
Note que em x=1 temos
x^2-2x+3 = 1-2+3 = 2 > 0,
e por continuidade x^2-2x+3 permanece positivo próximo de x=1.

Passo 4

Próximo de x=1, o denominador comporta-se como
(x-1),(x^2-2x+3)approx 2,(x-1)
Já o numerador, sendo contínuo em x=1, aproxima-se de -1. Então
x^3+x^2-4x+1x^3-3x^2+5x-3 ;approx; -12,(x-1)

Passo 5

Analisando -12(x-1) quando xto1:
– Para xto1^-, x-1<0 Rightarrow 2(x-1)<0 Rightarrow -12(x-1)>0 e cresce sem limite Rightarrow +infty.
– Para xto1^+, x-1>0 Rightarrow 2(x-1)>0 Rightarrow -12(x-1)<0 e decresce sem limite Rightarrow -infty.

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes ( +infty e -infty), o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe (diverge, pois as duas aproximações laterais vão a sinais opostos de infinito).

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