Utilize as propriedades apresentadas para o cálculo de limites e determine:
lim x x0 raizx-raizx0raiz[3]x-raiz[3]x0.

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto x0raizx-raizx0raiz[3]x-raiz[3]x0,
ou seja, temos uma forma indeterminada tfrac00. Vamos usar propriedades de limite, em particular racionalização da diferença de raízes quadradas e fatoração da diferença de cubos, para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador por raizx+raizx0:
raizx-raizx0raiz[3]x-raiz[3]x0 = (raizx-raizx0),(raizx+raizx0)(raiz[3]x-raiz[3]x0),(raizx+raizx0) = x - x0(raiz[3]x-raiz[3]x0),(raizx+raizx0)

Passo 3

Fatoramos x-x0 como diferença de cubos em termos de raiz[3]x e raiz[3]x0:
x - x0 = l(raiz[3]x-raiz[3]x0r), l(x^2/3 + x^1/3x0^1/3 + x0^2/3r)
Substituindo na expressão do passo anterior, cancelamos raiz[3]x-raiz[3]x0:
x - x0(raiz[3]x-raiz[3]x0),(raizx+raizx0) = x^2/3 + x^1/3x0^1/3 + x0^2/3raizx + raizx0

Passo 4

Agora aplicamos o limite xto x0. No numerador cada termo tende a x0^2/3, então
x^2/3 + x^1/3x0^1/3 + x0^2/3 ;longrightarrow; 3,x0^2/3,
e no denominador
raizx + raizx0 ;longrightarrow; 2,raizx0
Logo o limite vale
limxto x0raizx-raizx0raiz[3]x-raiz[3]x0 = 3,x0^2/32,raizx0 = 32,x0^2/3 - 1/2 = 32,x0^1/6

Resposta

32,x0^1/6

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