Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas. Justifique!
Todo inteiro par pode ser escrito na forma n^2+2, n in N.

Passo 1

O enunciado pergunta se todo inteiro par m pode ser escrito como
m = n^2 + 2, ninN
O conteúdo que vamos usar é análise de paridade e aritmética modular, em particular módulo 4, porque aí conseguimos ver que restos são possíveis ou não.

Passo 2

Vamos ver quais restos n^2 pode deixar em módulo 4. Como qualquer inteiro n é ou par ou ímpar, temos:
– Se n é par, então podemos escrever n=2k e
n^2 = (2k)^2 = 4k^2 equiv 0 pmod4
– Se n é ímpar, escrevemos n=2k+1 e
n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k +1 equiv 1 pmod4

Passo 3

Agora analisamos
n^2 + 2 pmod4
– Se n é par, n^2equiv0pmod4, logo
n^2+2equiv 2pmod4
– Se n é ímpar, n^2equiv1pmod4, logo
n^2+2equiv 3pmod4
Em nenhum dos casos n^2+2 é congruente a 0pmod4. Ou seja, n^2+2 só gera números pares que são 2pmod4, jamais múltiplos de 4.

Resposta

A afirmação é falsa, pois por exemplo o inteiro par 4 (ou 8, 12, ···) não pode ser escrito na forma n^2+2 – qualquer n^2+2 nunca será congruente a 0pmod4.

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