Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
((5 y-2 x) y^{\prime}-2 y=0)
((5 y-2 x) y^{\prime}-2 y=0)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Para isso, escrevemos no forma diferencial
identificando
e
.
Passo 2
Reescrevendo a equação como
temos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Para encontrar
, usamos
e igualamos a
:
Integrando em
:
Passo 5
Assim, a função potencial completa é
A solução geral implícita da equação exata é
onde
é constante arbitrária.