Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
((5 y-2 x) y^{\prime}-2 y=0)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(5y - 2x),y' - 2y = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Para isso, escrevemos no forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
identificando M(x,y) e N(x,y).

Passo 2

Reescrevendo a equação como
-2y,dx + (5y - 2x),dy = 0,
temos
M(x,y) = -2y, N(x,y) = 5y - 2x
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -2, partial Npartial x = -2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y) = -2y
Integramos em relação a x:
Psi(x,y) = integral -2y,dx = -2xy + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), usamos
partial Psipartial y = partialpartial yl(-2xy + h(y)r) = -2x + h'(y)
e igualamos a N(x,y):
-2x + h'(y) = 5y - 2x Longrightarrow h'(y) = 5y
Integrando em y:
h(y) = integral 5y,dy = 52y^2 + C1

Passo 5

Assim, a função potencial completa é
Psi(x,y) = -2xy + 52y^2
A solução geral implícita da equação exata é
Psi(x,y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

-2xy + 52y^2 = C

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