Classifique as afirmações a seguir como verdadeiro (V) ou Falso (F) justificando suas escolhas.
É possível encontrar uma transformação linear T: R^5 M2 times 2 que seja injetora.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “É possível encontrar uma transformação linear T: R^5 M2 times 2 que seja injetora.”
Estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções entre espaços vetoriais que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Para que uma transformação seja injetora, cada vetor no espaço de chegada deve ser atingido por no máximo um vetor no espaço de partida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões dos espaços envolvidos.
O espaço R^5 tem dimensão 5.
O espaço M2 times 2 consiste em todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais, e tem dimensão 4 (já que cada matriz é determinada por 4 números).

Passo 3

Para uma transformação linear T: V W ser injetora, a dimensão do espaço de partida V deve ser menor ou igual à dimensão do espaço de chegada W .
Isso porque, se dim(V) > dim(W) , segundo o Teorema do Núcleo e Imagem, necessariamente haverá vetores diferentes em V que são mapeados para o mesmo vetor em W , o que viola a injetividade.

Passo 4

No nosso caso, dim(R^5) = 5 e dim(M2 times 2) = 4 .
Como 5 é maior que 4, não é possível que exista uma transformação linear injetora de R^5 para M2 times 2 .

Resposta

Falso.

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