Classifique as afirmações a seguir como verdadeiro (V) ou Falso (F) justificando suas escolhas.
É possível encontrar uma transformação linear
que seja injetora.
É possível encontrar uma transformação linear
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “É possível encontrar uma transformação linear
que seja injetora.”
Estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções entre espaços vetoriais que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Para que uma transformação seja injetora, cada vetor no espaço de chegada deve ser atingido por no máximo um vetor no espaço de partida.
Estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções entre espaços vetoriais que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Para que uma transformação seja injetora, cada vetor no espaço de chegada deve ser atingido por no máximo um vetor no espaço de partida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões dos espaços envolvidos.
O espaço tem dimensão 5.
O espaço consiste em todas as matrizes
com entradas reais, e tem dimensão 4 (já que cada matriz é determinada por 4 números).
O espaço
O espaço
Passo 3
Para uma transformação linear
ser injetora, a dimensão do espaço de partida
deve ser menor ou igual à dimensão do espaço de chegada
.
Isso porque, se , segundo o Teorema do Núcleo e Imagem, necessariamente haverá vetores diferentes em
que são mapeados para o mesmo vetor em
, o que viola a injetividade.
Isso porque, se
Passo 4
No nosso caso,
e
.
Como 5 é maior que 4, não é possível que exista uma transformação linear injetora de para
.
Como 5 é maior que 4, não é possível que exista uma transformação linear injetora de
Resposta
Falso.