Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede 2 raiz 2 cm e uma aresta lateral mede raiz 22 cm. O volume dessa pirâmide, em cm ^3, é:
a) 7 raiz 2
b) 8 raiz 2
c) 9 raiz 2
d) 10 raiz 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma pirâmide quadrangular regular, que é aquela com a base em forma de quadrado e as laterais todas iguais. Sabemos que uma aresta da base mede 2raiz2 cm e uma aresta lateral mede raiz22 cm. Nosso objetivo aqui é encontrar o volume dessa pirâmide.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área da base de uma pirâmide quadrangular. Como a base é um quadrado, a área A é o lado ao quadrado. Aqui, o lado da base é 2raiz2 cm. Então:
A = (2raiz2)^2 = 4 times 2 = 8 , cm^2

Passo 3

Agora, precisamos descobrir a altura h da pirâmide, que é a distância perpendicular do vértice até a base. Para isso, vamos usar o teorema de Pitágoras. Imagina um triângulo formado pela altura da pirâmide, a metade da diagonal da base e a aresta lateral.
Primeiro, vamos achar a diagonal d da base. Como a base é um quadrado:
d = lado times raiz2 = 2raiz2 times raiz2 = 4 , cm
A metade da diagonal é 2 cm. Agora, usamos o teorema de Pitágoras no triângulo que forma a altura (h), a metade da diagonal (2 , cm) e a aresta lateral (raiz22 , cm):
h^2 + 2^2 = (raiz22)^2 h^2 + 4 = 22 h^2 = 18 h = raiz18 = 3raiz2 , cm

Passo 4

Com a área da base A = 8 , cm^2 e a altura h = 3raiz2 , cm, podemos calcular o volume V da pirâmide usando a fórmula:
V = 13 times A times h
Substituindo os valores:
V = 13 times 8 times 3raiz2 = 8raiz2 , cm^3

Resposta

O volume da pirâmide é 8raiz2 cm³, ou seja, a alternativa b) 8raiz2 está correta.

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