Classifique as afirmações a seguir como verdadeiro (V) ou Falso (F) justificando suas escolhas.
É possível encontrar uma transformação linear
que é sobrejetora.
É possível encontrar uma transformação linear
Passo 1
Vamos resolver se é possível ter uma transformação linear
que seja sobrejetora. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, dimensões de espaços e entender o que significa uma transformação ser sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear sobrejetora. Uma transformação linear
é chamada de sobrejetora se todo elemento do espaço de chegada
tem pelo menos uma imagem no espaço de partida
. Ou seja, a imagem de
cobre todo o espaço
.
Passo 3
Agora, vamos analisar as dimensões dos espaços envolvidos:
-
é o conjunto de todas as matrizes 3x2. Cada matriz 3x2 tem 6 elementos, então a dimensão de é 6. -
é o espaço das 5-tuplas de números reais, e sua dimensão é 5.
Passo 4
Para que uma transformação linear
seja sobrejetora, a dimensão do domínio
deve ser pelo menos igual à dimensão do contradomínio
. Isso porque, se o domínio tem dimensão menor, não há elementos suficientes para cobrir todo o espaço de chegada.
No nosso caso:
- Dimensão de
= 6 - Dimensão de
= 5
Como 6 é maior que 5 (
), é possível que exista uma transformação linear que cubra todo
.
Resposta
Verdadeiro (V). É possível encontrar uma transformação linear
que é sobrejetora, já que a dimensão do domínio (6) é maior ou igual à dimensão do contradomínio (5).