Classifique as afirmações a seguir como verdadeiro (V) ou Falso (F) justificando suas escolhas.
É possível encontrar uma transformação linear T: M3 times 2 R5 que é sobrejetora.

Passo 1

Vamos resolver se é possível ter uma transformação linear T: M3 times 2 R^5 que seja sobrejetora. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, dimensões de espaços e entender o que significa uma transformação ser sobrejetora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear sobrejetora. Uma transformação linear T: V W é chamada de sobrejetora se todo elemento do espaço de chegada W tem pelo menos uma imagem no espaço de partida V . Ou seja, a imagem de T cobre todo o espaço W .

Passo 3

Agora, vamos analisar as dimensões dos espaços envolvidos:
  • M3 times 2 é o conjunto de todas as matrizes 3x2. Cada matriz 3x2 tem 6 elementos, então a dimensão de M3 times 2 é 6.
  • R^5 é o espaço das 5-tuplas de números reais, e sua dimensão é 5.

Passo 4

Para que uma transformação linear T: V W seja sobrejetora, a dimensão do domínio V deve ser pelo menos igual à dimensão do contradomínio W . Isso porque, se o domínio tem dimensão menor, não há elementos suficientes para cobrir todo o espaço de chegada.
No nosso caso:
  • Dimensão de M3 times 2 = 6
  • Dimensão de R^5 = 5
Como 6 é maior que 5 ( 6 >= 5 ), é possível que exista uma transformação linear que cubra todo R^5 .

Resposta

Verdadeiro (V). É possível encontrar uma transformação linear T: M3 times 2 R^5 que é sobrejetora, já que a dimensão do domínio (6) é maior ou igual à dimensão do contradomínio (5).

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