Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(c) Se (a, b) é um ponto crítico de f e fx x(a, b)<0 e fy y(a, b)>0, o ponto (a, b) pode ser de mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação:
“Se (a,b) é ponto crítico de f e fxx(a,b)<0 e fyy(a,b)>0, então (a,b) pode ser ponto de mínimo.”
O conteúdo aqui é o teste da segunda derivada (ou teste da Hessiana) para funções de duas variáveis.

Passo 2

O teste da segunda derivada usa o determinante da Hessiana em (a,b):
D = fxx(a,b),fyy(a,b) - l(fxy(a,b)r)^2
As regras são:
  • Se D>0 e fxx(a,b)>0, (a,b) é mínimo local.
  • Se D>0 e fxx(a,b)<0, (a,b) é máximo local.
  • Se D<0, (a,b) é ponto de sela.

Passo 3

Aqui temos fxx(a,b)<0 e fyy(a,b)>0. Logo
fxx(a,b),fyy(a,b)<0
e como l(fxy(a,b)r)^2>=0, concluímos que
D = fxx,fyy - (fxy)^2 < 0

Passo 4

Como D<0, o ponto (a,b) é ponto de sela, não pode ser mínimo.

Resposta

Falsa.

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