Seja
é definida implicitamente pela equação
Encontre o plano tangente ao gráfico de
pelo ponto
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
que está definida de forma implícita pela equação
Nosso objetivo é encontrar o plano tangente ao gráfico dessa função no ponto
. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar um plano tangente. O plano tangente em um ponto da superfície é o “melhor plano plano” que aproxima a superfície naquele ponto. Para encontrá-lo, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto dado.
Passo 3
Como a função
está definida de forma implícita, vamos usar a diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais
e
.
Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a
:
Isso dá:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Então:
Passo 5
Substituindo os valores do ponto
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
diferenciando a equação original em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 7
Isolando
:
Então:
Passo 8
Substituindo os valores do ponto
:
Passo 9
Agora que temos as derivadas parciais no ponto, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é dado por:
Ou, simplificando: