Seja z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação
y z ln x+ln z=1
Encontre o plano tangente ao gráfico de f pelo ponto (e, 1,1).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função z = f(x, y) que está definida de forma implícita pela equação
y z ln x + ln z = 1
Nosso objetivo é encontrar o plano tangente ao gráfico dessa função no ponto (e, 1, 1) . Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar um plano tangente. O plano tangente em um ponto da superfície é o “melhor plano plano” que aproxima a superfície naquele ponto. Para encontrá-lo, precisamos das derivadas parciais de z em relação a x e y no ponto dado.

Passo 3

Como a função z está definida de forma implícita, vamos usar a diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y .
Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a x :
ddx( y z ln x + ln z ) = ddx(1)
Isso dá:
y ( partial zpartial x ln x + zx ) + 1z partial zpartial x = 0

Passo 4

Agora, vamos isolar partial zpartial x :
( y ln x + 1z ) partial zpartial x = - y zx
Então:
partial zpartial x = - y zx (y ln x + 1z)

Passo 5

Substituindo os valores do ponto (e, 1, 1) :
partial zpartial x = - 1 times 1e (1 times ln e + 11) = - 1e (1 + 1) = - 12e

Passo 6

Agora, vamos encontrar partial zpartial y diferenciando a equação original em relação a y :
ddy( y z ln x + ln z ) = ddy(1)
Isso resulta em:
z ln x + y ln x partial zpartial y + 1z partial zpartial y = 0

Passo 7

Isolando partial zpartial y :
( y ln x + 1z ) partial zpartial y = - z ln x
Então:
partial zpartial y = - z ln xy ln x + 1z

Passo 8

Substituindo os valores do ponto (e, 1, 1) :
partial zpartial y = - 1 times ln e1 times ln e + 11 = - 11 + 1 = - 12

Passo 9

Agora que temos as derivadas parciais no ponto, podemos usar a fórmula do plano tangente:
z - z0 = partial zpartial x(x0, y0)(x - x0) + partial zpartial y(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z - 1 = (-12e)(x - e) + (-12)(y - 1)

Resposta

O plano tangente ao gráfico de f no ponto (e, 1, 1) é dado por:
z - 1 = -12e(x - e) - 12(y - 1)
Ou, simplificando:
z = -12ex - 12y + 12 + 1 + 12 = -12ex - 12y + 32

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