Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, no caso em que seja falsa apresente um contra-exemplo
a) Toda sequência convergente é limitada;

Passo 1

Vamos resolver a afirmação: “Toda sequência convergente é limitada.” Para isso, vamos usar conceitos de convergência e sequências limitadas. Precisamos entender o que significa uma sequência ser convergente e o que é uma sequência limitada para classificar essa afirmação como verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência é dita convergente se existe um número real tal que, para todo , existe um índice onde, para todo , a inequação é satisfeita. Esse número é chamado de limite da sequência.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real tal que, para todo , . Isso quer dizer que todos os termos da sequência estão dentro de um intervalo finito.

Passo 4

Vamos demonstrar que toda sequência convergente é limitada. Suponha que seja uma sequência convergente com limite . Vamos escolher . Então, existe um índice tal que, para todo , . Isso implica que para .
Para os primeiros termos da sequência, podemos encontrar um que é o máximo dos valores absolutos desses termos. Definindo , garantimos que para todo . Portanto, a sequência é limitada.

Resposta

Verdadeira. Toda sequência convergente é limitada.

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