Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, no caso em que seja falsa apresente um contra-exemplo
a) Toda sequência convergente é limitada;
a) Toda sequência convergente é limitada;
Passo 1
Vamos resolver a afirmação: “Toda sequência convergente é limitada.” Para isso, vamos usar conceitos de convergência e sequências limitadas. Precisamos entender o que significa uma sequência ser convergente e o que é uma sequência limitada para classificar essa afirmação como verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência
é dita convergente se existe um número real
tal que, para todo
, existe um índice
onde, para todo
, a inequação
é satisfeita. Esse número
é chamado de limite da sequência.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que, para todo
,
. Isso quer dizer que todos os termos da sequência estão dentro de um intervalo finito.
Passo 4
Vamos demonstrar que toda sequência convergente é limitada. Suponha que
seja uma sequência convergente com limite
. Vamos escolher
. Então, existe um índice
tal que, para todo
,
. Isso implica que
para
.
Para os primeiros
termos da sequência, podemos encontrar um
que é o máximo dos valores absolutos desses termos. Definindo
, garantimos que
para todo
. Portanto, a sequência
é limitada.
Resposta
Verdadeira. Toda sequência convergente é limitada.