Se
tem derivadas parciais de segunda ordem contúnuas e satisfaz a equação de Laplace
, ela é dita uma função harmônica. Verifique se as funções abaixo são funções harmônicas:
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R:Sim
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas e que satisfaz a equação de Laplace:
Funções que cumprem essa equação são chamadas de funções harmônicas. Nosso objetivo aqui é verificar se a função dada,
, é uma função harmônica.
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a
e a
, e depois verificar se a soma delas é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Agora, calculamos a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Agora, calculamos a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as segundas derivadas parciais, vamos somá-las de acordo com a equação de Laplace:
Resposta
Como a soma das segundas derivadas parciais é igual a zero, a função
satisfaz a equação de Laplace. Portanto, sim, é uma função harmônica.