Se z=f(x, y) tem derivadas parciais de segunda ordem contúnuas e satisfaz a equação de Laplace partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0, ela é dita uma função harmônica. Verifique se as funções abaixo são funções harmônicas:
© z=e^x cos (y)

R:Sim

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0 que possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas e que satisfaz a equação de Laplace:
Funções que cumprem essa equação são chamadas de funções harmônicas. Nosso objetivo aqui é verificar se a função dada, , é uma função harmônica.
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a e a , e depois verificar se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial x = partialpartial x ( e^x cos(y) ) = e^x cos(y) em relação a partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( e^x cos(y) ) = e^x cos(y) :
Agora, calculamos a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial y = partialpartial y ( e^x cos(y) ) = -e^x sin(y) em relação a partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( -e^x sin(y) ) = -e^x cos(y) :
Agora, calculamos a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora que temos as segundas derivadas parciais, vamos somá-las de acordo com a equação de Laplace:
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = e^x cos(y) + (-e^x cos(y)) = 0

Resposta

Como a soma das segundas derivadas parciais é igual a zero, a função satisfaz a equação de Laplace. Portanto, sim, é uma função harmônica.

Exercícios relacionados