Decida se as seguintes séries são condicionalmente convergentes, absolutamente convergentes ou divergentes:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita
e precisamos determinar se ela é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral da série
. Podemos dividir cada termo da fração:
Então, a série original fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte separadamente:
-
Série
: Essa é uma série onde cada termo é 1 somado infinitamente. Como estamos somando 1 repetidamente, a soma cresce sem limite, ou seja, essa série é divergente. -
Série
: Essa é a famosa série harmônica, que também sabemos que é divergente, pois seus termos diminuem muito lentamente para chegar a zero.
Passo 4
Como ambas as séries que compõem a série original são divergentes, a combinação delas também será divergente. Portanto, a série
não converge para nenhum valor específico.
Resposta
A série
é divergente.