Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, no caso em que seja falsa apresente um contra-exemplo
f) Se
então
é convergente;
f) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a afirmação “Se
então a sequência
é convergente” é verdadeira ou falsa. Aqui estamos lidando com o conhecimento sobre sequências e convergência. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser convergente e o que implica que a diferença entre termos consecutivos tende a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência
converge se ela se aproxima de um número específico
conforme
cresce, ou seja,
. Isso significa que, depois de certo ponto, todos os termos da sequência ficam muito próximos de
.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que se
, então a sequência é convergente. O que isso quer dizer? Significa que a diferença entre termos consecutivos da sequência está ficando cada vez menor, tendendo a zero.
Passo 4
Vamos analisar se essa condição é suficiente para garantir a convergência da sequência. Embora uma diferença entre termos que tende a zero seja uma condição necessária para a convergência, não é uma condição suficiente. Ou seja, só que
tende a zero não garante que a sequência vai convergir.
Passo 5
Para provar que a afirmação é falsa, precisamos de um contra-exemplo, ou seja, uma sequência onde
mas que não converge.
Passo 6
Vamos considerar a sequência
, conhecida como a sequência harmônica.
Passo 7
Calculando a diferença entre termos consecutivos:
Claramente, conforme
aumenta,
tende a zero.
Passo 8
No entanto, sabemos que a sequência harmônica diverge, ou seja,
não converge para nenhum número finito. Isso porque o somatório da série harmônica cresce sem limites conforme
vai aumentando.
Resposta
FALSA. Um contra-exemplo é a sequência
, onde
, mas
não converge.