Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, no caso em que seja falsa apresente um contra-exemplo
f) Se |a_{n+1} - a_{n}| -> 0 então (a)_{n in N} é convergente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a afirmação “Se então a sequência é convergente” é verdadeira ou falsa. Aqui estamos lidando com o conhecimento sobre sequências e convergência. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser convergente e o que implica que a diferença entre termos consecutivos tende a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico conforme cresce, ou seja, . Isso significa que, depois de certo ponto, todos os termos da sequência ficam muito próximos de .

Passo 3

Agora, a afirmação diz que se , então a sequência é convergente. O que isso quer dizer? Significa que a diferença entre termos consecutivos da sequência está ficando cada vez menor, tendendo a zero.

Passo 4

Vamos analisar se essa condição é suficiente para garantir a convergência da sequência. Embora uma diferença entre termos que tende a zero seja uma condição necessária para a convergência, não é uma condição suficiente. Ou seja, só que tende a zero não garante que a sequência vai convergir.

Passo 5

Para provar que a afirmação é falsa, precisamos de um contra-exemplo, ou seja, uma sequência onde mas que não converge.

Passo 6

Vamos considerar a sequência , conhecida como a sequência harmônica.

Passo 7

Calculando a diferença entre termos consecutivos:
Claramente, conforme aumenta, tende a zero.

Passo 8

No entanto, sabemos que a sequência harmônica diverge, ou seja, não converge para nenhum número finito. Isso porque o somatório da série harmônica cresce sem limites conforme vai aumentando.

Resposta

FALSA. Um contra-exemplo é a sequência , onde , mas não converge.

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