Decida se as seguintes séries são condicionalmente convergentes, absolutamente convergentes ou divergentes:
sumr=3^infty 1r ln (r)^3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumr=3^infty 1r ln(r)^3
A pergunta é para decidir se essa série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, especialmente o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada tipo de convergência:
  • Absolutamente convergente: A série das magnitudes dos termos converge.
  • Condicionalmente convergente: A série original converge, mas a série das magnitudes dos termos não converge.
  • Divergente: A série não converge.
Nosso primeiro passo será verificar se a série é absolutamente convergente usando o Teste da Integral.

Passo 3

O Teste da Integral nos ajuda a determinar a convergência de séries cujo termos são positivos e decrescentes. A ideia é comparar a série com uma integral correspondente. Se a integral converge, a série também converge, e vice-versa.
Vamos considerar a função:
f(r) = 1r ln(r)^3
Vamos calcular a integral de integral3^infty 1r ln(r)^3 , dr de 3 até o infinito:

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Seja integralu=ln(3)^infty 1u^3 , du , então .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos integral 1u^3 , du = integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C :
limb to infty ( -12b^2 + 12(ln(3))^2 ) = 0 + 12(ln(3))^2 = 12(ln(3))^2
Avaliando de até o infinito:
Como a integral converge para um valor finito, o Teste da Integral nos diz que a série original também converge.

Passo 6

Como os termos da série são positivos e a série converge, concluímos que a série é absolutamente convergente. Não precisamos verificar a convergência condicional, pois a absoluta já confirma a convergência da série.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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