Decida se as seguintes séries são condicionalmente convergentes, absolutamente convergentes ou divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
A pergunta é para decidir se essa série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, especialmente o Teste da Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa cada tipo de convergência:
- Absolutamente convergente: A série das magnitudes dos termos converge.
- Condicionalmente convergente: A série original converge, mas a série das magnitudes dos termos não converge.
- Divergente: A série não converge.
Nosso primeiro passo será verificar se a série é absolutamente convergente usando o Teste da Integral.
Passo 3
O Teste da Integral nos ajuda a determinar a convergência de séries cujo termos são positivos e decrescentes. A ideia é comparar a série com uma integral correspondente. Se a integral converge, a série também converge, e vice-versa.
Vamos considerar a função:
Vamos calcular a integral de
de 3 até o infinito:
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Seja
, então
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, integramos
:
Avaliando de
até o infinito:
Como a integral converge para um valor finito, o Teste da Integral nos diz que a série original também converge.
Passo 6
Como os termos da série são positivos e a série converge, concluímos que a série é absolutamente convergente. Não precisamos verificar a convergência condicional, pois a absoluta já confirma a convergência da série.
Resposta
A série
é absolutamente convergente.