Sabendo que a área duma superfície de revolução gerada pela rotação da função f(x) em torno do eixo x, entre x=a e x=b, é dada por
A=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
E que o volume do sólido de resolução é dado por
V=integrala^b pi cdot[f(x)]^2 d x
Considere a função f(x)=1x, os pontos a=1 e b=+infty, e faça o que se pede.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a área e o volume de uma superfície de revolução gerada pela função quando ela gira em torno do eixo , entre os pontos e . Para isso, vamos usar as fórmulas de área e volume de superfícies de revolução que envolvem integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da área da superfície de revolução. Ela é dada por:
A = integrala^b 2 pi f(x) raiz1 + [f^prime(x)]^2 , dx
Aqui, é a função que estamos girando, e é a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f^prime(x) = -1x^2 . A derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos substituir A = integral1^+infty 2 pi (1x) raiz1 + (-1x^2)^2 , dx e raiz1 + 1x^4 na fórmula da área:
A = 2 pi integral1^+infty 1x raiz1 + 1x^4 , dx
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Essa integral pode ser um pouco complicada para resolver diretamente, mas podemos observar que, para A approx 2 pi integral1^+infty 1x , dx grande, 2 pi [ln x]1^+infty é muito pequeno, então .
Então, a integral aproximada para grandes valores de é:
Essa integral é:
Mas tende ao infinito, então a área também é infinita.

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume do sólido de revolução usando a fórmula:
V = integrala^b pi [f(x)]^2 , dx
Substituindo V = pi integral1^+infty (1x)^2 , dx = pi integral1^+infty 1x^2 , dx :

Passo 7

A integral de integral 1x^2 , dx = -1x + C é fácil de resolver:
V = pi [ -1x ]1^+infty = pi ( 0 - (-1) ) = pi (1) = pi
Aplicando os limites de integração:

Resposta

A área da superfície de revolução é infinita e o volume do sólido de revolução é igual a .

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