Sabendo que a área duma superfície de revolução gerada pela rotação da função
em torno do eixo
, entre
e
, é dada por
E que o volume do sólido de resolução é dado por
Considere a função
, os pontos
e
, e faça o que se pede.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a área e o volume de uma superfície de revolução gerada pela função
quando ela gira em torno do eixo
, entre os pontos
e
. Para isso, vamos usar as fórmulas de área e volume de superfícies de revolução que envolvem integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da área da superfície de revolução. Ela é dada por:
Aqui,
é a função que estamos girando, e
é a derivada dessa função em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Essa integral pode ser um pouco complicada para resolver diretamente, mas podemos observar que, para
grande,
é muito pequeno, então
.
Então, a integral aproximada para grandes valores de
é:
Essa integral é:
Mas
tende ao infinito, então a área também é infinita.
Passo 6
Agora, vamos calcular o volume do sólido de revolução usando a fórmula:
Substituindo
:
Passo 7
A integral de
é fácil de resolver:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área da superfície de revolução é infinita e o volume do sólido de revolução é igual a
.