Quantos termos são necessários para que o erro cometido quando se estima a série
seja menor do que
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar quantos termos precisamos somar da série
para que o erro na estimativa seja menor que
. Isso envolve conceitos de Séries Alternadas e Estimativa de Erro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa. No nosso caso, temos
, que faz isso acontecer.
Passo 3
Para séries alternadas que satisfazem certas condições (como termos diminuindo em magnitude e tendendo a zero), o Teorema do Erro de Estimativa nos diz que o erro ao aproximar a soma da série por um número finito de termos é, no máximo, o valor do primeiro termo que não foi incluído na soma.
Passo 4
Ou seja, se somarmos os primeiros
termos da série, o erro será menor que o próximo termo, que é
(ignorando o sinal, já que estamos falando do erro absoluto).
Passo 5
Queremos que esse erro seja menor que
:
Passo 6
Vamos resolver essa inequa�o para encontrar
:
Passo 7
Como
representa o número de termos e precisa ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz a inequação é
.
Resposta
São necessários 10 termos para que o erro na estimativa da série seja menor que
.