Quantos termos são necessários para que o erro cometido quando se estima a série
sumn=2^infty (-1)^nn^3
seja menor do que 10^-3 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar quantos termos precisamos somar da série para que o erro na estimativa seja menor que . Isso envolve conceitos de Séries Alternadas e Estimativa de Erro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa. No nosso caso, temos , que faz isso acontecer.

Passo 3

Para séries alternadas que satisfazem certas condições (como termos diminuindo em magnitude e tendendo a zero), o Teorema do Erro de Estimativa nos diz que o erro ao aproximar a soma da série por um número finito de termos é, no máximo, o valor do primeiro termo que não foi incluído na soma.

Passo 4

Ou seja, se somarmos os primeiros termos da série, o erro será menor que o próximo termo, que é (ignorando o sinal, já que estamos falando do erro absoluto).

Passo 5

Queremos que esse erro seja menor que 1(N+1)^3 < 10^-3 :

Passo 6

Vamos resolver essa inequa�o para encontrar 1(N+1)^3 < 11000 :
(N+1)^3 > 1000
N+1 > raiz[3]1000
N+1 > 10
N > 9

Passo 7

Como representa o número de termos e precisa ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz a inequação é .

Resposta

São necessários 10 termos para que o erro na estimativa da série seja menor que .

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