Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
F(x, y, z)=e^x sin y i+e^y sin z j+e^z sin x k.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial vec F(x,y,z)=e^xsin y,hat i+e^ysin z,hat j+e^zsin x,hat k. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: vamos usar as definições de divergente (soma das derivadas parciais das componentes) e de rotacional (determinante com operadores diferenciais).

Passo 2

Para o divergente, aplicamos
nablacdotvec F=partialpartial x(e^xsin y)+partialpartial y(e^ysin z)+partialpartial z(e^zsin x)
Agora basta derivar cada termo em relação à sua variável.

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
partialpartial x(e^xsin y)=e^xsin y, partialpartial y(e^ysin z)=e^ysin z, partialpartial z(e^zsin x)=e^zsin x
Somando, obtemos o divergente.

Passo 4

Para o rotacional, usamos a definição
nablatimesvec F= hat i & hat j & hat k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z e^xsin y & e^ysin z & e^zsin x
Isso gera três componentes:

Passo 5

Componente hat i:
(nablatimesvec F)x=partialpartial y(e^zsin x)-partialpartial z(e^ysin z) =0-e^ycos z=-e^ycos z
Componente hat j:
(nablatimesvec F)y=partialpartial z(e^xsin y)-partialpartial x(e^zsin x) =0-e^zcos x=-e^zcos x
Componente hat k:
(nablatimesvec F)z=partialpartial x(e^ysin z)-partialpartial y(e^xsin y) =0-e^xcos y=-e^xcos y

Resposta

Divergente: nablacdotvec F=e^xsin y+e^ysin z+e^zsin x.
Rotacional: nablatimesvec F= -l(e^ycos z,hat i+e^zcos x,hat j+e^xcos y,hat kr).

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