Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
Se f é contínua em R^2 então integral0^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 f(x, y) d y d x=integral-pi2^pi2 integral0^1 f(r cos theta, r sen theta) r d r d theta.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla de f sobre o conjunto
R = (x,y)inR^2 : 0 <= x <= 1,,-raiz1-x^2<= y<= raiz1-x^2,
e afirma que
integral0^1integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2f(x,y),dy,dx = integral-pi2^pi2integral0^1f(rcostheta,rsintheta),r,dr,dtheta
O conteúdo a ser usado é mudança de variável em coordenadas polares, cujo Jacobiano vale r.

Passo 2

Observamos que R é o semicírculo de raio 1 à direita do eixo y. Em coordenadas cartesianas, isso equivale a
0 <= x <= 1, -raiz1-x^2<= y<= raiz1-x^2

Passo 3

Fazemos a parametrização polar
x = rcostheta, y = rsintheta,
com as variáveis variando em
0 <= r <= 1, -pi2 <= theta <= pi2,
pois esse intervalo de theta descreve exatamente o semicírculo em x>=0.

Passo 4

Na mudança de variável para polares, o elemento de área dA vira r,dr,dtheta. Logo,
integral duplaR f(x,y),dA = integral-pi2^pi2 integral0^1 f(rcostheta,rsintheta),r,dr,dtheta

Passo 5

Como a integral em coordenadas cartesianas sobre R é
integral0^1integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2f(x,y),dy,dx,
vemos que ela coincide com a integral em coordenadas polares dada no enunciado. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira

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