Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
Se
é contínua em
então
.
Se
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla de
sobre o conjunto
e afirma que
O conteúdo a ser usado é mudança de variável em coordenadas polares, cujo Jacobiano vale
.
Passo 2
Observamos que
é o semicírculo de raio 1 à direita do eixo
. Em coordenadas cartesianas, isso equivale a
Passo 3
Fazemos a parametrização polar
com as variáveis variando em
pois esse intervalo de
descreve exatamente o semicírculo em
.
Passo 4
Na mudança de variável para polares, o elemento de área
vira
. Logo,
Passo 5
Como a integral em coordenadas cartesianas sobre
é
vemos que ela coincide com a integral em coordenadas polares dada no enunciado. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeira