Resolva a equação diferencial d yd theta=sen raiztheta

Passo 1

Temos a equação diferencial
d yd theta = senraiztheta,
que é uma equação de variáveis separáveis ou, de forma mais direta, basta integrar ambos os lados em relação a theta.

Passo 2

Escrevemos
dy = senraiztheta,dtheta
e, integrando, obtemos
y(theta) = integral senraiztheta,dtheta + C

Passo 3

Fazemos a substituição
u = raiztheta Longrightarrow theta = u^2, dtheta = 2u,du
Assim
integral senraiztheta,dtheta = integral sin(u),2u,du = 2integral usin(u),du

Passo 4

Para calcular 2integral usin(u),du, usamos integração por partes:
escolhemos
U = 2u, dU = 2,du, dV = sin(u),du, V = -cos(u)
Logo,
2integral usin(u),du = U V - integral V,dU = -2ucos(u) - integral l(-cos(u)r),2,du = -2ucos(u) + 2integral cos(u),du
E
2integral cos(u),du = 2sin(u)
Portanto
2integral usin(u),du = -2ucos(u) + 2sin(u) + tilde C

Passo 5

Voltando a theta, isto é, u=raiztheta, temos
integral senraiztheta,dtheta = -2raizthetacosl(raizthetar) + 2sinl(raizthetar) + C
Logo a solução geral é

Resposta

y(theta) = -2raizthetacosl(raizthetar) + 2sinl(raizthetar) + C

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