Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
Se f é uma função contínua em R^2 então
integral0^raiz2 / 5 integral3 x^raiz4-x^2 f(x, y) d y d x=integralpi3^pi2 integral0^1 f(r cos theta, r sen theta) r d r d theta

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada sobre a região
R = (x,y)inR^2 mid 0<= x<=raiz2/5,;3x<= y<=raiz4-x^2
e propõe que ela seja igual à integral em coordenadas polares
integralpi/3^pi/2integral0^1f(rcostheta,rsintheta),r,dr,dtheta
O conteúdo é mudança de variável para coordenadas polares.

Passo 2

Vamos descrever geometricamente R. As bordas são:
  1. a reta y=3x,
  2. o arco de círculo x^2+y^2=4,
  3. a reta vertical x=0.
No primeiro quadrante, R é o setor limitado abaixo por y=3x, acima por x^2+y^2=4 e à esquerda por x=0.

Passo 3

Em polares temos
y=3x;Longrightarrow;rsintheta=3rcostheta;Longrightarrow;tantheta=3;Longrightarrow;theta=arctan(3),
x^2+y^2=4;Longrightarrow;r=2,
e x=0 no primeiro quadrante é theta=tfracpi2. Além disso r>=0.

Passo 4

Logo a descrição polar correta de R é
arctan(3);<=;theta;<=;tfracpi2, 0;<=;r;<=;2
Portanto a integral em coordenadas polares deve ser
integralarctan(3)^pi2integral0^2f(rcostheta,rsintheta),r,dr,dtheta

Resposta

A igualdade proposta é falsa.

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