Determinar o raio e o intervalo de convergência da série sumn=0^infty (x+2)^n(n+1) cdot 2^n. Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x=-2:
sumn=0^infty (x+2)^n(n+1),2^n
Precisamos encontrar o raio de convergência R e depois testar as extremidades do intervalo x:|x+2|<R. Vamos usar o teste da razão para obter R e em seguida analisar separadamente x=0 e x=-4.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão às parcelas
an=(x+2)^n(n+1),2^n
Calculamos
|an+1an| =|(x+2)^n+1(n+2),2^n+1;(n+1),2^n(x+2)^n| =|x+22,n+1n+2|
Fazendo ntoinfty, a fração tfracn+1n+2to1, então
limntoinfty|an+1an| =|x+22|
O teste da razão diz que a série converge se esse limite for menor que 1, isto é,
|x+22|<1 Long<=ftrightarrow |x+2|<2
Portanto, o raio de convergência é
R=2

Passo 3

Agora testamos x=0, que corresponde à borda direita do intervalo x:|x+2|<2. Para x=0 temos
x+2=2 Longrightarrow anl|x=0=2^n(n+1),2^n =1n+1
Logo a série torna-se
sumn=0^infty 1n+1,
que é a série harmônica deslocada e diverge. Assim, em x=0 não há convergência.

Passo 4

Testamos x=-4, a borda esquerda. Para x=-4 temos
x+2=-2 Longrightarrow anl|x=-4 =(-2)^n(n+1),2^n =(-1)^nn+1
Essa é a série alternante
sumn=0^infty (-1)^nn+1
Como 1/(n+1) é decrescente a zero, pelo teste de Leibniz essa série converge (condicionalmente).

Resposta

Raio de convergência:
R=2
Intervalo de convergência:
-4<= x<0,
ou seja, l[-4,0r).

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