Determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em :
Precisamos encontrar o raio de convergência e depois testar as extremidades do intervalo . Vamos usar o teste da razão para obter e em seguida analisar separadamente e .
Passo 2
Aplicamos o teste da razão às parcelas
Calculamos
Fazendo ntoinfty, a fração tfracn+1n+2to1, então
limntoinfty|an+1an| =|x+22|
O teste da razão diz que a série converge se esse limite for menor que 1, isto é,
|x+22|<1 Long<=ftrightarrow |x+2|<2
Portanto, o raio de convergência é
R=2
Passo 3
Agora testamos x=0, que corresponde à borda direita do intervalo x:|x+2|<2. Para x=0 temos
x+2=2 Longrightarrow anl|x=0=2^n(n+1),2^n =1n+1
Logo a série torna-se
sumn=0^infty 1n+1,
que é a série harmônica deslocada e diverge. Assim, em x=0 não há convergência.