Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas justificando sua resposta:
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado diz: “Se
então
”.
O conteúdo é norma de vetores e queremos verificar se a igualdade de comprimentos (normas) implica igualdade dos próprios vetores. Para isso precisamos lembrar a definição de norma e suas propriedades fundamentais.
O conteúdo é norma de vetores e queremos verificar se a igualdade de comprimentos (normas) implica igualdade dos próprios vetores. Para isso precisamos lembrar a definição de norma e suas propriedades fundamentais.
Passo 2
Pelo axioma de norma, sabemos que para todo vetor
vale
e que
Isso garante injetividade da norma apenas no caso
. Mas, de maneira geral, norma só mede tamanho, não direção, então vetores distintos podem ter a mesma norma.
Passo 3
Basta um contraexemplo em
. Tome
Então
logo
, mas claramente
.
Passo 4
Como encontramos vetores distintos com normas iguais, a afirmação não vale em geral.
Resposta
Falsa.