Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas justificando sua resposta:
Se |u|=|v| então u=v.

Passo 1

O enunciado diz: “Se |u|=|v| então u=v”.
O conteúdo é norma de vetores e queremos verificar se a igualdade de comprimentos (normas) implica igualdade dos próprios vetores. Para isso precisamos lembrar a definição de norma e suas propriedades fundamentais.

Passo 2

Pelo axioma de norma, sabemos que para todo vetor x vale
|x|>= 0,
e que
|x|=0Long<=ftrightarrow x=0
Isso garante injetividade da norma apenas no caso |x|=0. Mas, de maneira geral, norma só mede tamanho, não direção, então vetores distintos podem ter a mesma norma.

Passo 3

Basta um contraexemplo em R^2. Tome
u = (1,0), v = (-1,0)
Então
|u| = raiz1^2+0^2 = 1 e |v| = raiz(-1)^2+0^2 = 1,
logo |u|=|v|, mas claramente uneq v.

Passo 4

Como encontramos vetores distintos com normas iguais, a afirmação não vale em geral.

Resposta

Falsa.

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