Justifique se as expressões abaixo fazem sentido e, em caso afirmativo, diga se elas representam um número ou um vetor:
(u cdot v times w) times v

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a expressão
(u cdot (v times w)) times v
faz sentido e, em caso afirmativo, dizer se o resultado é um número (escalar) ou um vetor.
Conteúdo: produto escalar, produto vetorial, produto triplo escalar e multiplicação de escalar por vetor.

Passo 2

Lembrando as operações básicas de álgebra vetorial:
– Para dois vetores vec a,vec b,
vec acdotvec b é um escalar.
– Para dois vetores vec a,vec b,
vec atimesvec b é um vetor.
– Para escalar alpha e vetor vec x,
o produto alpha,vec x é um vetor.

Passo 3

Na expressão vec ucdot vec vtimes vec w devemos decidir o agrupamento.
bul<=t Se fizéssemos (vec ucdot vec v)times vec w, o fator vec ucdot vec v seria escalar, e não há definição de escalar “ times” vetor no sentido vetorial.
bul<=t Logo só resta a interpretação
vec ucdot(vec vtimes vec w),
que é o produto triplo escalar e produz um escalar. Denotemos
alpha = vec ucdot(vec vtimes vec w)inR

Passo 4

Substituindo, a expressão original fica
alpha times vec v
Aqui o “ times” não é mais produto vetorial (pois alpha é escalar), mas indica simplesmente multiplicação de escalar por vetor, isto é
alpha,vec v,
que por definição é um vetor.

Resposta

A expressão faz sentido e representa um vetor.

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