Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
(a) (1.0 pt) ( ) Se T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é o operador linear definido por T(x, y)=(x, x+y) e f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é dada por f(t)=t^{2}+3 t+5, então T é raiz de f(t).
(b) (1.0 pt) ( ) Seja T: V \rightarrow V um operador linear, em que V é um \mathbb{R} - espaço vetorial de dimensão finita. Se 0 é um autovalor de T, então T é uma função injetora.

Passo 1

O enunciado pede para classificar duas afirmações sobre operadores lineares em espaços vetoriais de dimensão finita, usando teoria de polinômio de um operador (parte (a)) e relação entre autovalores e injetividade (parte (b)).

Passo 2

Analisando a parte (a): temos T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dado por
T(x,y)=(x,\;x+y).
Calculemos T^2:
T^2(x,y)=T\bigl(T(x,y)\bigr)=T(x,\;x+y)=(x,\;2x+y).
Agora avaliamos
\bigl(T^2+3T+5I\bigr)(x,y) = T^2(x,y)+3T(x,y)+5(x,y) =(x,2x+y)+3(x,x+y)+(5x,5y).
Somando componentes, obtemos
\bigl(T^2+3T+5I\bigr)(x,y)=(9x,\;5x+9y),
que não é o vetor nulo para todos (x,y). Logo f(T)=T^2+3T+5I\neq0 e T não é raiz de f.

Passo 3

Analisando a parte (b): se 0 é autovalor de T, existe v\neq0 tal que
T(v)=0.
Isso significa que o núcleo de T contém um vetor não nulo, portanto \ker T\neq\{0\}. Logo T não é injetora.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.

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