Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
(a) (1.0 pt) ( ) Se
é o operador linear definido por
e
é dada por
, então
é raiz de
.
(b) (1.0 pt) ( ) Seja
um operador linear, em que
é um
- espaço vetorial de dimensão finita. Se 0 é um autovalor de
, então
é uma função injetora.
(a) (1.0 pt) ( ) Se
(b) (1.0 pt) ( ) Seja
Passo 1
O enunciado pede para classificar duas afirmações sobre operadores lineares em espaços vetoriais de dimensão finita, usando teoria de polinômio de um operador (parte (a)) e relação entre autovalores e injetividade (parte (b)).
Passo 2
Analisando a parte (a): temos
dado por
Calculemos
:
Agora avaliamos
Somando componentes, obtemos
que não é o vetor nulo para todos
. Logo
e
não é raiz de
.
Passo 3
Analisando a parte (b): se
é autovalor de
, existe
tal que
Isso significa que o núcleo de
contém um vetor não nulo, portanto
. Logo
não é injetora.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(b) Falsa.