(1.0 pt) Determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para um operador linear T, sabendo que p(t)=(t+2)^{5}(t+1)^{2} e m(t)=(t+2)^{3}(t+1).

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T de dimensão 7 (pois \deg p=5+2=7), com polinômio característico
p(t)=(t+2)^{5}(t+1)^{2}
e polinômio minimal
m(t)=(t+2)^{3}(t+1).
O conteúdo envolvido é a teoria de forma canônica de Jordan: cada fator (t-\lambda)^{a} em p indica a soma das dimensões dos blocos de Jordan para \lambda, e o expoente de (t-\lambda) em m é o tamanho do maior bloco de Jordan associado a \lambda.

Passo 2

Identificamos os dois valores próprios e suas multiplicidades:
  • Para \lambda=-2: multiplicidade algébrica 5 (vem de (t+2)^5) e no minimal o expoente é 3, ou seja, o maior bloco de Jordan para -2 tem tamanho 3.
  • Para \lambda=-1: multiplicidade algébrica 2 e no minimal o expoente é 1, logo todos os blocos de Jordan para -1 têm tamanho 1.

Passo 3

Para \lambda=-1 a única forma de somar dois ao todo com blocos de tamanho no máximo 1 é usar dois blocos unitários. Assim há bloco
J_{1}(-1)\oplus J_{1}(-1).

Passo 4

Para \lambda=-2 precisamos de blocos cuja soma de dimensões dê 5, cada bloco com tamanho \le3, e pelo menos um bloco de tamanho exatamente 3. As partições de 5 que satisfazem isso são:
3 + 2 \quad\text{e}\quad 3 + 1 + 1.

Passo 5

Juntando as escolhas de cada autovalor, obtemos exatamente duas formas canônicas distintas de Jordan para T:
  1. Para -2: blocos de tamanho 3 e 2; para -1: dois blocos de tamanho 1.
  2. Para -2: um bloco de tamanho 3 e dois blocos de tamanho 1; para -1: dois blocos de tamanho 1.

Resposta

As duas formas canônicas de Jordan são, respectivamente:
J_{3}(-2)\;\oplus\;J_{2}(-2)\;\oplus\;J_{1}(-1)\;\oplus\;J_{1}(-1)
e
J_{3}(-2)\;\oplus\;J_{1}(-2)\;\oplus\;J_{1}(-2)\;\oplus\;J_{1}(-1)\;\oplus\;J_{1}(-1).

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