(1.0 pt) Determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para um operador linear
, sabendo que
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear
de dimensão 7 (pois
), com polinômio característico
e polinômio minimal
O conteúdo envolvido é a teoria de forma canônica de Jordan: cada fator
em
indica a soma das dimensões dos blocos de Jordan para
, e o expoente de
em
é o tamanho do maior bloco de Jordan associado a
.
Passo 2
Identificamos os dois valores próprios e suas multiplicidades:
- Para
: multiplicidade algébrica (vem de ) e no minimal o expoente é , ou seja, o maior bloco de Jordan para tem tamanho . - Para
: multiplicidade algébrica e no minimal o expoente é , logo todos os blocos de Jordan para têm tamanho .
Passo 3
Para
a única forma de somar dois ao todo com blocos de tamanho no máximo 1 é usar dois blocos unitários. Assim há bloco
Passo 4
Para
precisamos de blocos cuja soma de dimensões dê
, cada bloco com tamanho
, e pelo menos um bloco de tamanho exatamente
. As partições de
que satisfazem isso são:
Passo 5
Juntando as escolhas de cada autovalor, obtemos exatamente duas formas canônicas distintas de Jordan para
:
- Para
: blocos de tamanho e ; para : dois blocos de tamanho . - Para
: um bloco de tamanho e dois blocos de tamanho ; para : dois blocos de tamanho .
Resposta
As duas formas canônicas de Jordan são, respectivamente:
e