Considerando em mathbb{R}^{3} o produto interno definido por
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=2 x_{1} x_{2}-x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}
determine:
(1.0 pt) o ângulo entre os vetores u=(1,1,0) e v=(1,1, \sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^3 o produto interno
\langle(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\rangle = 2x_1x_2 - x_1y_2 - x_2y_1 + y_1y_2 + z_1z_2
e pede o ângulo entre os vetores u=(1,1,0) e v=(1,1,\sqrt{3}). Vamos usar a fórmula
\cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\;\|v\|},
onde \|w\| = \sqrt{\langle w,w\rangle}.

Passo 2

Calcular \langle u,u\rangle:
\langle u,u\rangle =2\cdot1\cdot1 - 1\cdot1 - 1\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot0 =2 -1 -1 +1 =1.

Passo 3

Calcular \langle v,v\rangle:
\langle v,v\rangle =2\cdot1\cdot1 - 1\cdot1 - 1\cdot1 + 1\cdot1 + \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} =2 -1 -1 +1 +3 =4.

Passo 4

Calcular \langle u,v\rangle:
\langle u,v\rangle =2\cdot1\cdot1 - 1\cdot1 - 1\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot\sqrt{3} =2 -1 -1 +1 =1.

Passo 5

Calcular \cos\theta:
\cos\theta =\frac{\langle u,v\rangle}{\sqrt{\langle u,u\rangle}\,\sqrt{\langle v,v\rangle}} =\frac{1}{\sqrt{1}\,\sqrt{4}} =\frac12.

Passo 6

Determinar \theta:
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac12\bigr) = \frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}.

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