Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
(1.0 \mathrm{pt})() A matriz da forma bilinear f: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} definida por f\left(\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right)= x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}, em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}, é uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado define a forma bilinear
f\colon \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\quad f\bigl((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\bigr)=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2
e pede a matriz de f na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3, verificando se ela é diagonal. Vamos usar a definição de matriz de forma bilinear.

Passo 2

Para toda forma bilinear f\) e base \(\{e_i\}\), a matriz \(A=(a_{ij})\) é dada por \[a_{ij}=f(e_i,e_j).
Na base canônica e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) temos
f(e_i,e_j)= \begin{cases} 1,&i=j,\\\\ 0,&i\neq j, \end{cases}
pois f(e_i,e_i)=1\] e \(f(e_i,e_j)=0 quando i\neq j (produtos escalar de vetores ortogonais).

Passo 3

Logo a matriz de f na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
que é claramente uma matriz diagonal (identidade).

Resposta

Verdadeira.

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