Considere \mathbb{R}^{3} munido com produto interno usual e seja T(x, y, z)=(x+y, x+y+z, y-2 z) um operador linear sobre \mathbb{R}^{3}.
(a) ( 1.0 pt ) Determine o operador adjunto T^{*}.
(b) (1.0 \mathrm{pt}) T é autoadjunto? Justifique.
(c) (1.0 pt) T é ortogonal? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para o operador linear
T(x,y,z) = (\,x+y,\;x+y+z,\;y-2z\,)
em \mathbb{R}^3 com o produto interno usual, encontrar
  1. o adjunto T^*;
  2. verificar se T é autoadjunto;
  3. verificar se T é ortogonal.
    Para isso vamos usar que, na base canônica e no produto interno usual, a matriz de T^* é a transposta da matriz de T, que vamos chamar de A.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}. Note que
T(e_1) = T(1,0,0) = (1,1,0),\quad T(e_2) = T(0,1,0) = (1,1,1),\quad T(e_3) = T(0,0,1) = (0,1,-2).
Logo,
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\[6pt] 1 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O adjunto T^* tem matriz A^T. Calculando a transposta de A,
A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\[6pt] 1 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Como A^T = A, concluímos que, para todo (x,y,z),
T^*(x,y,z) \;=\; (\,x+y,\;x+y+z,\;y-2z\,).]

Passo 4

Para saber se T é autoadjunto, basta ver se T^* = T. Vimos que a matriz de T^* é igual à de T (pois A^T=A), logo
T^* = T,
isto é, T é autoadjunto.

Passo 5

Para verificar se T é ortogonal, precisamos de A^T A = I. Mas
A^T A = A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\[3pt] 1 & 1 & 1 \\[3pt] 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\[3pt] 1 & 1 & 1 \\[3pt] 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[3pt] 2 & 3 & -1 \\[3pt] 1 & -1 & -5 \end{pmatrix},
cuja entrada (1,1) é 2\neq1. Portanto A^T A\neq I e T não é ortogonal.]

Resposta

(a) \displaystyle T^*(x,y,z) = (\,x+y,\;x+y+z,\;y-2z\,).
(b) Sim, T é autoadjunto, pois sua matriz é simétrica A^T=A.
(c) Não, T não é ortogonal, pois A^T A \neq I.

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