Considere \mathbb{R}^{3} munido com produto interno usual e seja T(x, y, z)=(x+y, x+y+z, y-2 z) um operador linear sobre \mathbb{R}^{3}.
(a) ( 1.0 pt ) Determine o operador adjunto T^{*}.
(b) (1.0 \mathrm{pt}) T é autoadjunto? Justifique.
(c) (1.0 pt) T é ortogonal? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para o operador linear
T(x,y,z) = (\,x+y,\;x+y+z,\;y-2z\,)
em \mathbb{R}^3 com o produto interno usual, encontrar
o adjunto T^*;
verificar se T é autoadjunto;
verificar se T é ortogonal.
Para isso vamos usar que, na base canônica e no produto interno usual, a matriz de T^* é a transposta da matriz de T, que vamos chamar de A.
Passo 2
Vamos escrever a matriz A de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}. Note que
cuja entrada (1,1) é 2\neq1. Portanto A^T A\neq I e T não é ortogonal.]
Resposta
(a) \displaystyle T^*(x,y,z) = (\,x+y,\;x+y+z,\;y-2z\,).
(b) Sim, T é autoadjunto, pois sua matriz é simétrica A^T=A.
(c) Não, T não é ortogonal, pois A^T A \neq I.