Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
(1.0 pt) ( ) Se f: V \times V \rightarrow \mathbb{R} é uma forma bilinear simétrica e q é a forma quadrática a ela associada, então f(u, v)=\frac{1}{2}(q(u+v)-q(u)-q(v)).

Passo 1

O enunciado considera uma forma bilinear simétrica f:V\times V\to\mathbb{R} e a forma quadrática associada definida por
q(x)=f(x,x).
Queremos verificar se vale a identidade de polarização
f(u,v)=\frac12\bigl(q(u+v)-q(u)-q(v)\bigr).

Passo 2

Usando bilinearidade e simetria de f, calculamos
q(u+v)=f(u+v,u+v) =f(u,u)+f(u,v)+f(v,u)+f(v,v).
Como f é simétrica, f(u,v)=f(v,u). Logo,
q(u+v)=f(u,u)+2\,f(u,v)+f(v,v).

Passo 3

Reorganizando a equação acima para isolar f(u,v), temos
2\,f(u,v)=q(u+v)-f(u,u)-f(v,v)=q(u+v)-q(u)-q(v).
Dividindo ambos os lados por 2 obtém-se exatamente
f(u,v)=\frac12\bigl(q(u+v)-q(u)-q(v)\bigr).

Resposta

Verdadeira.

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