Questão 4 Verifique se as relações abaixo são produtos internos em \mathbb{R}^{2}. Justifique sua resposta em no máximo 3 linhas.
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}+x_{1} y_{2}+y_{1} x_{2}-y_{1} y_{2};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
\langle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle = x_{1}x_{2} + x_{1}y_{2} + y_{1}x_{2} - y_{1}y_{2}
é um produto interno em \mathbb{R}^{2}, isto é, precisa ser bilinear, simétrica e definir um forma positiva.

Passo 2

Note que
\langle (x,y),(x,y)\rangle = x^2 + 2xy - y^2.
Para v=(1,-1) temos
\langle v,v\rangle = 1 - 2 - 1 = -2 < 0,
logo falha a positividade.

Resposta

Não é produto interno.

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